Википедия

Уравнение Пуассона: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[отпатрулированная версия][непроверенная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
мНет описания правки
м оформление формул
Строка 9:
 
Это уравнение имеет вид:
: <math>\Delta \varphi = f,</math>
 
где <math>\Delta</math> — [[оператор Лапласа]], или [[лапласиан]], а <math>f</math> — [[Вещественное число|вещественная]] или [[Комплексное число|комплексная]] [[Функция (математика)|функция]] на некотором [[многообразие|многообразии]].
Строка 23:
: <math>{\nabla}^2 \varphi = f.</math>
 
Если ''<math>f''</math> стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в [[уравнение Лапласа]] (уравнение Лапласа — частный случай уравнения Пуассона):
 
: <math>\Delta \varphi = 0.</math>
Строка 30:
 
== Электростатика ==
Уравнение Пуассона является одним из важнейших уравнений [[Электростатика|электростатики]]. Нахождение φ<math>\Phi(r)</math> для данного ''<math>f''</math> — важная практическая задача, поскольку это обычный путь для нахождения [[Электростатический потенциал|электростатического потенциала]] для данного распределения [[электрический заряд|заряда]]. В единицах системы [[СИ]]:
 
: <math>{\nabla}^2 \phi = - {\rho \over \varepsilon_0},</math>
Строка 38:
В единицах системы [[СГС]]:
 
: <math>{\nabla}^2 \phi = - {4 \pi \rho}.</math>
 
В области пространства, где нет непарной плотности заряда, имеем:
Строка 57:
:<math>\Phi_q =
{ 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }{ q \over r } </math>
-— то есть кулоновский потенциал - есть по сути (а строго говоря при <math>q = 1</math>) [[функция Грина]]
:<math>\Phi_1 (x,y,z) =
{ 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }{ 1 \over r } </math>
Строка 63:
 
то есть решение уравнения
:<math>\Delta \Phi = - { 1 \over \varepsilon_0 }\delta(x)\delta(y)\delta(z)\ , </math>
где <math>\delta(x)</math> - обозначение [[дельта-функция|дельта-функции Дирака]], а произведение трех дельта-функций есть трехмерная дельта-функция, а <math>r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.</math>
 
Строка 84:
: <math> \rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},</math>
 
где ''<math>Q''</math> — общий заряд, тогда решение <math>\Phi(r)</math> уравнения Пуассона:
тогда решение Φ (''r'') уравнения Пуассона:
 
: <math>{\nabla}^2 \Phi = - { \rho \over \varepsilon_0 } </math>
Строка 91 ⟶ 90 :
даётся:
 
: <math> \Phi(r) = { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right),
</math>
 
где <math>\mathrm{erf}(''x'')</math> — [[функция ошибок]].
Это решение может быть проверено напрямую вычислением <math>{\nabla}^2 \Phi</math>.
Заметьте, что для ''<math>r''</math>, много больших, чем σ<math>\sigma</math>, <math>\mathrm{erf}(''x'')</math> приближается к единице, и потенциал Φ <math>\Phi(''r'')</math> приближается к [[электростатический потенциал|потенциалу точечного заряда]] <math> { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 } {Q \over r} </math>, как и можно было ожидать.
 
== См. также ==
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_Пуассона