Предел числовой последовательности: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
м откат правок 89.223.47.218 (обс.) к версии Alexei Kopylov |
|||
Строка 9:
== Определение ==
Число <math>a \in \R</math> называется '''пределом числовой последовательности''' <math>\{x_n\}</math>, если последовательность <math>\{x_n - a\}</math> является бесконечно малой, то есть все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.
: <math>\lim_{n \to \infty} x_n = a ~ \Leftrightarrow ~ \forall \varepsilon > 0 ~ \exists N (\varepsilon) \in \N \colon ~ n \geqslant N ~ \Rightarrow |x_n - a| < \varepsilon</math>
Если число <math>a\in\R</math> является пределом числовой последовательности <math>\{x_n\}</math>, то говорят также, что последовательность <math>\{x_n\}</math> '''''сходится''''' к <math>a</math>.
Если никакое вещественное число не является пределом последовательности <math>\{x_n\}</math>, её называют '''''расходящейся'''''.
Для некоторых последовательностей предел полагают равным [[Бесконечность|бесконечности]].
А именно, говорят, что последовательность <math>\{x_n\}</math> '''''стремится к бесконечности''''', если для любого вещественного числа все члены последовательности, начиная с некоторого, оказываются по модулю больше этого числа.
Формально,
: <math>\lim_{n \to \infty} x_n = \infty ~ \Leftrightarrow ~ \forall E > 0 ~ \exists N (E) \in \N \colon ~ \forall n \geqslant N \Rightarrow |x_n| > E</math>
| |||