Точная верхняя и нижняя границы: различия между версиями

→‎Теорема о гранях: Эта теорема и не для всех линейно упорядоченных множеств верна
(→‎Формулировка: Добавил линейность. Для частично упорядоченного множества это неправда.)
(→‎Теорема о гранях: Эта теорема и не для всех линейно упорядоченных множеств верна)
 
=== Формулировка ===
''Непустое линейномножество упорядоченное[[действительные множествочисла|действительных чисел]], [[Ограниченное множество|ограниченное]] сверху, имеет точную верхнюю грань, ограниченное снизу — точную нижнюю грань.''
То есть существуют <math>a</math> и <math>b</math> такие, что
: <math>b = \sup X \begin{cases}
 
=== Доказательство ===
Для множества <math>X</math> ограниченного сверху. Пусть <math>\tilde{b}=\tilde{b}_0, \tilde{b}_1 \dots \tilde{b}_n \dots </math> — мажоранта множества <math>X</math>, представленная в виде [[Десятичная дробь|бесконечной десятичной дроби]]. Множество <math>X</math> непусто. Запишем все числа <math>x</math> из <math>X</math> в виде нормальных десятичных дробей,
Доказательство проведём для числового множества <math>X</math>.
 
Для множества ограниченного сверху. Пусть <math>\tilde{b}=\tilde{b}_0, \tilde{b}_1 \dots \tilde{b}_n \dots </math> — мажоранта множества <math>X</math>, представленная в виде [[Десятичная дробь|бесконечной десятичной дроби]]. Множество <math>X</math> непусто. Запишем все числа <math>x</math> из <math>X</math> в виде нормальных десятичных дробей,
: <math>x=x_0,x_1\dots x_m \dots</math>.