Википедия

Простой элемент: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
м -{{сирота}}; добав ссылку из Область целостности
декопивиоизация (было цельнотянуто из МЭ)
Строка 1:
'''Простой элемент''' ― обобщение понятия [[простое число|простого числа]] на случай произвольной коммутативной [[Полугруппа с делением|полугруппы]] с единицей [[Полугруппа с двусторонним сокращением|с двусторонним сокращением]], определяется как не являющийся делителем единицы ненулевой элемент <math>p \in G</math>, такой, что произведение <math>ab</math> может делиться на <math>p</math> лишь тогда, когда хотя бы один из элементов <math>a</math> или <math>b</math> делится на <math>p</math>.
'''Простой элемент''' ― обобщение понятия [[простое число|простого числа]].
 
Простой элемент всегда [[неприводимый элемент|неприводим]], в общем случае из неприводимости простоты не следует, но в [[гауссова полугруппа|гауссовой полугруппе]] понятия неприводимости и простоты совпадают, и более того, если всякий неприводимый элемент из <math>G</math> является простым, то полугруппа <math>G</math> гауссова.
== Определение ==
 
Понятие естественным образом переносится на случай [[область целостности|областей целостности]], в этом случае имеет место эквивалентность неприводимости и простоты элемента в случае [[Факториальное кольцо|факториальных (гауссовых) колец]], и из простоты всех неприводимых элементов в области целостности следует, что кольцо факториально. Кроме того, простота элемента эквивалентна [[Простой идеал|простоте]] [[главный идеал|главного идеала]], им порождённого.
Пусть <math>G</math> ― [[область целостности]] или коммутативная [[полугруппа]] с единицей, удовлетворяющая закону сокращения.
Ненулевой элемент <math>p\in G</math>, не являющийся делителем единицы, называется простым, если произведение <math>ab</math> может делиться на <math>p</math> лишь в том случае, когда хотя бы один из элементов <math>a</math> или <math>b</math> делится на <math>p</math>.
 
Существуют также обобщения этих понятий простоты и неприводимости на некоммутативный случай.▼
== Свойства ==
* Всякий простой элемент является [[неприводимый элемент|неприводимым]], то есть делится только на делители единицы и ассоциированные с ним элементы.
* Неприводимый элемент не обязан быть простым, однако в [[гауссова полугруппа|гауссовой полугруппе]] эти два понятия совпадают.
** Более того, если всякий неприводимый элемент из <math>G</math> является простым, то полугруппа <math>G</math> гауссова.
Аналогичные утверждения имеют место для факториальных колец.
* Элемент кольца является простым тогда и только тогда, когда главный идеал, порождённый этим элементом, ― [[простой идеал]].
 
== Вариации и обобщения ==
▲Существуют обобщения этих понятий на некоммутативный случай.
 
== Литература ==
* {{книга | автор = Кон П., ''| заглавие = Свободные кольца и их связи'', пер.| сместо англ.,= М., | год = 1975;}}
* {{книга| автор = Курош А. Г., ''| заглавие = Лекции по общей алгебре'', | издание = 2-е изд., | место = М., | издательство = Физматлит | год = 1973;}}
* {{Из|МЭ|автор=О. А. Иванова}}
* Ленг С, ''Алгебра'', пер. с англ., М., 1968.
* {{Книга:Общая алгебра|4}}
 
{{rq|refless|recat}}
[[Категория:Теория колец]]
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Простой_элемент