Дополнение Шура

Дополнение Шура — некоторая квадратная матрица, получающаяся при разбиении квадратной матрицы на четыре части.

Определение

Представим квадратную матрицу $A$ в блочном виде:

$A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}$,

где $A_{11},A_{12},A_{21},A_{22}$ — матрицы размеров $n\times n,n\times m,m\times n,m\times m$, соответственно.

Матрица $\left(A/A_{11}\right)=A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}$ называется дополнением Шура матрицы $A_{11}$ в матрице $A$.

Свойства

• с помощью дополнения Шура может быть вычислен определитель матрицы $|A|$. Если $|A_{11}|\neq 0$, то $|A|=|A_{11}|\cdot |A/A_{11}|$;
• дополнение Шура используется при сведении алгоритмической задачи обращения матриц к задаче умножения матриц, для решения которой существует много специализированных быстрых алгоритмов.

Литература

• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с.

• А. Ахо, Дж. Хопкрофт, Дж. Ульман. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. — М.: Мир, 1979. — 536 с. Архивная копия от 13 января 2019 на Wayback Machine