Открыть главное меню

Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние векторов  — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .

СвойстваПравить

 
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что
 
 
  • Смешанное произведение   в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов   и  , взятому со знаком «минус»:
 
В частности,
  • Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.
  • Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
  • Геометрический смысл — Смешанное произведение   по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами   и  ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
  • Квадрат смешанного произведения векторов равен определителю Грама, определяемому ими[1]:215.
 
Три вектора, определяющие параллелепипед.
 

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

ОбобщениеПравить

В  -мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы  , составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный  -мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).

В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:

 

В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с.

СсылкиПравить