Параллелепи́пед (др.-греч. παραλληλ-επίπεδον[1] от др.-греч. παρ-άλληλος — «параллельный» и др.-греч. ἐπί-πεδον — «плоскость») — четырёхугольная призма, все грани которой являются параллелограммами.

Параллелепипед

Типы параллелепипеда

править
 
Прямоугольный параллелепипед

Различается несколько типов параллелепипедов:

  • Наклонный — боковые грани не перпендикулярны основанию.
  • Прямой — боковые грани перпендикулярны основанию.
  • Прямоугольный — все грани являются прямоугольниками.
  • Ромбоэдр — все грани являются равными ромбами.
  • Куб — все грани являются квадратами.

Основные элементы

править
  • Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются «противоположными гранями»; например, грань AA1D1D противоположна грани BB1C1C
  • Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются «смежными гранями»; например, грань AA1D1D смежна грани DD1C1C (имеется общее ребро DD1)
  • Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются «противоположными вершинами»; например, вершина A противоположна вершине C1 (а вершина A не противоположна вершине C, поскольку они принадлежат одной грани ABCD)
  • Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется «диагональю параллелепипеда»; например отрезок AC1
  • Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют «измерениями прямоугольного параллелепипеда»; например длины рёбер AD, DC и DD1 — имеют общую вершину D и являются измерениями прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1

Свойства

править
  • Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
  • Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
  • Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.
  • Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Основные формулы

править

Прямой параллелепипед

править

Площадь боковой поверхности Sб = Роh, где Ро — периметр основания, h — высота.

Площадь полной поверхности Sп = Sб + 2Sо, где Sо — площадь основания.

Объём V = Sоh.

Прямоугольный параллелепипед

править

Площадь боковой поверхности Sб = 2c(a + b), где a, b — стороны основания, c — боковое ребро прямоугольного параллелепипеда.

Площадь полной поверхности Sп = 2(ab + bc + ac).

Объём V = abc, где a, b, c — измерения прямоугольного параллелепипеда.

Площадь поверхности  .

Объём  , где   — ребро куба.

Произвольный параллелепипед

править

Объём и соотношения в наклонном параллелепипеде часто определяются с помощью векторной алгебры. Объём параллелепипеда равен абсолютной величине смешанного произведения трёх векторов, определяемых тремя сторонами параллелепипеда, исходящими из одной вершины. Соотношение между длинами сторон параллелепипеда и углами между ними даёт утверждение, что определитель Грама указанных трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения[2].

Если координаты четырёх вершин параллелепипеда, не принадлежащих одной грани, имеют целочисленные координаты, то объём этого параллелепипеда есть целое число.

В математическом анализе

править

В математическом анализе под n-мерным прямоугольным параллелепипедом   понимают множество точек   вида  

В зависимости от расположения секущей плоскости и параллелепипеда сечение параллелепипеда может быть треугольником, четырехугольником, пятиугольником и шестиугольником.

См. также

править

Примечания

править
  1. Древнегреческо-русский словарь Дворецкого «παραλληλεπίπεδον»
  2. Гусятников П. Б., Резниченко С. В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — С. 215. — 232 с. Архивировано 10 января 2014 года.

Ссылки

править