Открыть главное меню

Ромбоэдр (от ромб и др.-греч. ἕδρα — основание, грань) — это геометрическое тело, наподобие куба, только грани не квадратны, а являются ромбами. Ромбоэдр является частным случаем параллелепипеда, в котором все рёбра равны. Ромбоэдр можно использовать для определения ромбоэдрической решётчатой системы, сот с ромбоэдрическими ячейками.

Ромбоэдр
Rhombohedron.svg
Ромбоэдр
Тип Призма
Свойства выпуклый многогранник
зоноэдр
Комбинаторика
Элементы
12 рёбер
8 вершин
Грани 6 ромбов
Классификация
Группа симметрии Ci, [2+,2+], (×), порядок 2

В общем случае ромбоэдр может иметь три типа ромбических граней, которые разбиваются на конгруэнтные пары противоположных сторон. Ромбоэдр имеет симметрию Ci порядка 2.

Четыре точки, соответствующие несмежным вершинам ромбоэдра, обязательно образуют четыре вершины ортоцентрического тетраэдра и все ортоцентрические тетраэдры могут быть получены таким образом[1].

Содержание

Ромбоэдрическая решётчатая системаПравить

Ромбоэдрическая решётчатая система имеет ромбоэдрические ячейки с 3 парами уникальных ромбических граней:

 

В кристаллографии ромбоэдр выделен как простая форма тригональной сингонии средней категории. Минералы, имеющие форму ромбоэдра, — диоптаз, фенакит, многие минералы имеют сложные структуры с наличием ромбоэдра, например, кальцит[источник не указан 867 дней].

Частные случаиПравить

Вид Куб Тригональный трапецоэдр[en] Прямая ромбическая призма Ромбическая призма общего вида Ромбоэдр общего вида
Симметрия Oh[en], [4,3], порядка 48 D3d, [2+,6], порядка 12 D2h, [2,2], порядка 8 C2h[en], [2], порядка 4 Ci, [2+,2+], порядка 2
Рисунок        
Грани 6 квадратов 6 одинаковых ромбов Два ромба и 4 квадрата 6 ромбические грани 6 ромбические грани
  • Куб: с симметрией Oh[en] порядка 48. Все грани — квадраты.
  • Тригональный трапецоэдр[en]: с симметрией D3d порядка12. Если все острые внутренние углы граней равны (все грани одинаковы). Тело можно рассматривать как вытягивание куба вдоль главной диагонали. Например, правильный октаэдр с двумя тетраэдрами, приклеенными к противоположным граням, образуют тригональный трапецоэдр с углом 60 градусов. У тригонального трапецоэдра есть хотя бы две вершины, такие, что все прилежащие к ним углы равны между собой. Через эти вершины проходит ось симметрии третьего порядка (то есть такая ось, при повороте вокруг которой на угол 120°=2π/3 тело переходит в само себя). Более того, это является признаком тригонального трапецоэдра: параллелепипед является тригональным трапецоэдром тогда и только тогда, когда он имеет ось симметрии третьего порядка[2].
  • Прямая ромбическая призма: с симметрией D2h порядка 8. Она строится из двух ромбов и 4 квадратов. Фигуру можно рассматривать как вытягивание куба вдоль диагонали на грани. Например, две треугольные призмы, соединённые по боковой грани, образуют ромбическую призму с углом 60 градусов.
  • Ромбическая призма общего вида: с симметрией C2h[en] порядка 4. Она имеет только одну плоскость симметрии, проходящую через четыре вершины, и имеет 6 ромбических граней.

Геометрия телаПравить

 
Ромбоэдр с помеченными вершинами

Для единичного ромбоэдра[3] (длина стороны = 1), в котором острый ромбический угол равен θ, одна вершина лежит в начале координат (0, 0, 0), а одно ребро лежит на оси x, три вектора равны

e1:  
e2:  
e3:  

Другие координаты можно получить из сложения векторов[4] 3 направлений, e1 + e2, e1 + e3, e2 + e3 и e1 + e2 + e3.

Объём ромбоэдра, длина стороны которого равна a является упрощением формулы объёма параллелепипеда и задаётся формулой

 

Так как площадь основания задаётся формулой  , высота ромбоэдра h задаётся формулой (объём, делённый на площадь основания)

 

Рассмотрим внутренние диагонали ромбоэдра на рисунке. Три из внутренних диагоналей (BG, CF и DE) имеют одну и ту же длину. Их легко вычислить, используя координатную геометрию, если координаты каждой вершины известны. Расстояние в 3-мерном пространстве вычисляется по формуле [5]

 

Например, для единичного ромбоэдра с острым углом 72 градуса, три внутренних диагонали (BG, CF и DE) равны 1.543, а длинная диагональ (AH) равна 2.203. Объём этого ромбоэдра равен 0.8789, а высота равна 0.9242.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Court, 1934, с. 499–502.
  2. Ромбоэдр — статья из Большой советской энциклопедии
  3. Lines, 1965.
  4. Vector Addition. Wolfram (17 May 2016). Дата обращения 17 мая 2016.
  5. Calculate distance in 3D space. Дата обращения 17 мая 2016.

ЛитератураПравить

  • L. Lines. Solid geometry: with chapters on space-lattices, sphere-packs and crystals. — Dover Publications, 1965.
  • N. A. Court. Notes on the orthocentric tetrahedron // American Mathematical Monthly. — 1934. — Октябрь.

СсылкиПравить