Соотношения Мэнли — Роу

Соотношения Мэнли — Роу — энергетические соотношения, характеризующие взаимодействие колебаний или волн в нелинейных системах с сосредоточенными или распределёнными параметрами. Они были впервые получены в 1956 году Дж. Мэнли и Г. Э. Роу для колебаний в нелинейной реактивной системе с сосредоточенными параметрами, а впоследствии обобщены на волны в нелинейных средах.

Соотношения Мэнли — Роу справедливы для системы с произвольной реактивной нелинейной связью. В совокупности с законами сохранения энергии и импульса, соотношения Мэнли — Роу определяют характер нелинейного взаимодействия волн (колебаний) и позволяют рассчитать максимальную эффективность преобразователя частоты на реактивной нелинейности.

Общий вид

В общем виде соотношения Мэнли — Роу могут быть записаны следующим образом:

$\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {m\cdot P_{mn}}{m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2}}}=0,\ \ \ m\in \mathbb {Z}$

$\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\cdot P_{mn}}{m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2}}}=0,\ \ \ n\in \mathbb {Z}$

где

• $P_{mn}$ — изменение мощности на комбинационной частоте $m\cdot \omega _{\text{H}}+n\cdot \omega _{\text{C}}$,
• $\omega _{1},\omega _{2}$ — частоты исходных колебаний (волн). Причём отношение ${\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}$ должно быть иррационально, поскольку в противном случае, возможно выразить все частоты как гармоники одной фундаментальной частоты.

Доказательство

Пусть в единицу времени появляется или исчезает $A_{mn}$ квантов комбинационной частоты. Тогда мощность на комбинационной частоте выражается как:

$P_{mn}=A_{mn}\cdot \hbar \cdot (m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2}),$ (*)

Поскольку энергия в системе не появляется и не исчезает, то общая мощность равна нулю:

$\sum _{m,n}P_{mn}=\sum _{m,n}\hbar A_{mn}\cdot (m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2})=0$

Поскольку ${\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}$ иррационально, а $m,n,A_{mn}$ — целые числа, то это равенство выполняется только если оба слагаемых равны нулю:

$\sum _{m,n}m\cdot A_{mn}=\sum _{m,n}n\cdot A_{mn}=0$

Выразив $A_{mn}$ из (*) и подставив в последнее выражение, получим соотношения:

$\sum _{m,n}{\frac {m\cdot P_{mn}}{m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2}}}=\sum _{m,n}{\frac {n\cdot P_{mn}}{m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2}}}$

Первое из соотношений Мэнли — Роу представляет собой закон сохранения числа квантов, которые в зависимости от природы взаимодействующих волн представляют собой фотоны, фононы, плазмоны, магноны или другие взаимодействующие квазичастицы.

Можно вычислить следующие величины:

• $A_{mn}={\frac {|P_{mn}|}{\hbar \cdot (m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2})}}$ — число квантов комбинационной частоты;
• $m\cdot A_{m,n}$ — число квантов частоты $\omega _{1}$, затраченных ($P_{mn}>0$) или образованных ($P_{mn}<0$) при возбуждении комбинационной частоты;
• $n\cdot A_{m,n}$ — число квантов частоты $\omega _{2}$, затраченных ($P_{mn}>0$) или образованных ($P_{mn}<0$) при возбуждении комбинационной частоты.

Соотношения для трёхчастотного взаимодействия

Рассмотрим соотношения Мэнли — Роу в частном случае трёхчастотного взаимодействия. Пусть, например, комбинационной является разностная частота $\omega _{0}=\omega _{1}-\omega _{2}$. Тогда система имеет три частоты:

• $\omega _{0}\ (m=1,n=-1)$
• $\omega _{1}\ (m=1,n=0)$
• $\omega _{2}\ (m=0,n=1)$

В этом случае соотношения Мэнли — Роу принимают вид:

${\frac {P_{0,1}}{\omega _{2}}}={\frac {P_{1,-1}}{\omega _{0}}}=-{\frac {P_{1,0}}{\omega _{1}}}$

Обобщение для комбинации многих частот

Пусть источники или стоки квантов происходят на частотах

$\sum _{i=1}^{N}m_{i}\omega _{i},\ \ {\frac {\omega _{i}}{\omega _{j}}}\notin \mathbb {Q}$

В этом случае будем иметь систему из $N$ соотношений:

$\sum _{m_{1},m_{2},\ldots ,m_{N}}{\frac {m_{i}\cdot P_{m_{1}m_{2}\ldots m_{N}}}{m_{1}\cdot \omega _{1}+m_{2}\cdot \omega _{2}+\ldots +m_{N}\cdot \omega _{N}}}=0,\ \ \ i={\overline {1,N}}$

См. также

• Солитон

Ссылки

• Соотношения Мэнли — Роу — статья из Физической энциклопедии