Состояние Белла

Состояние Белла — определённое состояние двух кубитов; простейший пример квантовой запутанности.

Квантовая схема для создания состояния Белла.

Названо в честь Джона Стюарта Белла.

Определение

Состояние Белла — одно из следующих четырёх квантовых состояний двух кубитов $A$ и $B$.

$|\beta _{00}\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cdot (|00\rangle +|11\rangle ),$

$|\beta _{01}\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cdot (|01\rangle +|10\rangle ),$

$|\beta _{10}\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cdot (|00\rangle -|11\rangle ),$

$|\beta _{11}\rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\cdot (|01\rangle -|10\rangle ).$

Замечания

• Состояние Белла $|\beta _{ij}\rangle$ можно получить, подав состояние $|ij\rangle$ на схему с элементом Адамара и CNOT на рисунке.

• Состояния Белла образуют ортонормированный базис в четырёхмерном гильбертовом пространстве, известный как базис Белла.

• Измерение в базисе Белла называется измерением Белла. Измерение Белла можно произвести используя обратную схему к схеме на рисунке.

Приложения

Обозначим через $I$, $X$ и $Z$ матрицы Паули: $I$ — тождественное преобразование, $X|0\rangle =|1\rangle$, $X|1\rangle =|0\rangle$ и $Z|0\rangle =|0\rangle$, $Z|1\rangle =-|1\rangle$

• Квантовое сверхплотное кодирование основано на тождествах

  $(I\otimes I)|\beta _{00}\rangle =|\beta _{00}\rangle ,$

  $(X\otimes I)|\beta _{00}\rangle =|\beta _{01}\rangle ,$

  $(Z\otimes I)|\beta _{00}\rangle =|\beta _{10}\rangle ,$

  $(Z\cdot X\otimes I)|\beta _{00}\rangle =|\beta _{11}\rangle ,$

• Квантовая телепортация основана на тождестве

  $|\phi \rangle \otimes |\beta _{00}\rangle ={\tfrac {1}{2}}\cdot |\beta _{00}\rangle \otimes |\phi \rangle +{\tfrac {1}{2}}\cdot |\beta _{01}\rangle \otimes (X|\phi \rangle )+{\tfrac {1}{2}}\cdot |\beta _{10}\rangle \otimes (Z|\phi \rangle )+{\tfrac {1}{2}}\cdot |\beta _{11}\rangle \otimes (X\cdot Z|\phi \rangle ).$

• Квантовая криптография

Литература

• Кайе Ф., Лафламм Р., Моска М. Введение в квантовые вычисления. — Ижевск: РХД, 2009. — 360 с.