Структурная устойчивость

В теории динамических систем, отображение f называется C^k-структурно устойчивым, если любое C^k-близкое к нему отображение g топологически сопряжено ему некоторым гомеоморфизмом h, близким к тождественному:

$g=h\circ f\circ h^{-1}$

Иными словами, динамика g отличается от динамики f только (непрерывной) заменой координат.

Если гладкость k не указана явно, по умолчанию считается, что речь идёт о C¹-возмущениях. Стоит отметить, что замена h почти никогда не может оказаться гладкой: малым возмущением можно изменить собственные значения в неподвижных и периодических точках, которые являются инвариантами гладкого сопряжения.

В двумерном случае малое шевеление приводит любое состояние к структурно устойчивому. В 3- и более мерных случаях такое верно не всегда.

Аносов открыл, что существуют структурно устойчивые хаотические системы.

Пример: Системы Морса-Смейла структурно устойчивы.

Ссылки

• Андронов А. А., Понтрягин, Л. С. Грубые системы // Доклады Академии Наук СССР. — 1937. — Т. 14, вып. 5. — С. 247-250.
• Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.