Суммы Клоостермана

Суммы Клоостермана – предмет изучения аналитической теории чисел, тригонометрические суммы над элементами кольца вычетов, обратными по модулю элементам некоторого множества с естественной структурой (как правило, интервала или простых чисел из интервала).

Первые оценки сумм получил Клоостерман в 1926 году в связи с исследованием количества представлений чисел в виде $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dt^{2}$.

Определение

Пусть $q\geq 3$ – произвольное целое число и для $n\in {\mathbb {F} }_{q}$ взаимопростого с $q$ введено обозначение $n{\overline {n}}\equiv 1{\pmod {q}}$. Тогда для $a,b\in {\mathbb {F} }_{q}$ полной суммой Клоостермана называется сумма вида

$S(q;a,b):=\sum \limits _{\stackrel {0\leq n\leq q-1}{(n,q)=1}}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)}\ .$

Неполной называется сумма по некоторому интервалу $\sum \limits _{n=M+1}^{M+N}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)}$.

Иногда рассматриваются суммы по простым, полилинейные суммы с участием обратных элементов и другие суммы вида $\sum \limits _{n\in A}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)}$, где $A\subset {\mathbb {F} }_{q}$.

При заданном $q$ обычно оцениваются суммы Клоостермана при произвольных $a\not =0,b\in {\mathbb {F} }_{q}$, в том числе величина $S(q)=\max \limits _{a\not =0,b\in {\mathbb {F} }_{q}}{S(q;a,b)}$.

Свойства

При $a=0$ полные суммы Клоостермана вырождаются в сумму Рамануджана.

Если $(q_{1},q_{2})=1$, то $S(q)=S(q_{1})S(q_{2})$, поэтому вопрос оценки $S(q)$ сводится к случаю $q=p^{n}$.

Оценки

$|S(q)|\leq \tau (q){\sqrt {q}}$, где $\tau (q)$ – число делителей. Из этого следует, что $\sum \limits _{\stackrel {0\leq n\leq x}{(n,q)=1}}{e_{q}\left({a{\overline {n}}+bn}\right)}\leq \tau (q){\sqrt {q}}(\log q+1)$ для любого $x<q$.

Для сумм последнего вида при $q=p,\ b=0$ известны также другие оценки, нетривиальные при $x\geq \exp \left({\Omega ((\log p)^{2/3}(\log \log p)^{2})}\right)$.

Литература

• H. D. Kloosterman. On the representation of numbers in the form $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dt^{2}$ (англ.) // Acta Math.. — 1926. — Vol. 49, iss. 1. — P. 407–464.

• М. А. Королёв. Методы оценок коротких сумм Клоостермана (рус.) // Чебышёвский сборник. — 2016. — Т. 17, вып. 4. — С. 79–109.

• М. А. Королёв. О коротких суммах Клоостермана по простому модулю (рус.) // Математические заметки. — 2016. — Т. 100, вып. 6. — С. 838–846.

• Ж. Бургейн, М. З. Гараев. Сумма множеств, образованных обратными элементами в полях простого порядка, и полилинейные суммы Клоостермана (рус.) // Известия РАН. — 2014. — Т. 78, вып. 4. — С. 19–72. — arXiv:1211.4184.

• R. C. Baker. Kloosterman sums with prime variable (англ.) // Acta Arithmetica. — 2012. — Vol. 156. — P. 351–372.