Эксцесс (сферическая тригонометрия)

Эксцесс сферического треугольника, или сферический избыток, — величина в сферической тригонометрии, показывающая, насколько сумма углов сферического треугольника превышает развёрнутый угол.

Сферический треугольник

Определение

Обозначим A, B, C радианные меры углов сферического треугольника. Тогда эксцесс

$\varepsilon =A+B+C-\pi$

Свойства и вычисление

• Поскольку в любом сферическом треугольнике, в отличие от треугольника на плоскости, сумма углов всегда больше π, то эксцесс всегда положителен. Сверху он ограничен числом 2π, то есть всегда меньше этого числа.
• Для вычисления эксцесса сферического треугольника со сторонами a, b, c используется формула Люилье:

$\operatorname {tg} {\frac {\varepsilon }{4}}={\sqrt {\operatorname {tg} {\frac {p}{2}}\operatorname {tg} {\frac {p-a}{2}}\operatorname {tg} {\frac {p-b}{2}}\operatorname {tg} {\frac {p-c}{2}}}},p={\frac {a+b+c}{2}}$

• Для вычисления эксцесса сферического треугольника по сторонам a, b и углу C между ними используется формула:

$\operatorname {ctg} {\frac {\varepsilon }{2}}={\frac {\operatorname {ctg} {\frac {a}{2}}\operatorname {ctg} {\frac {b}{2}}+\cos C}{\sin C}}$

Применение

• Эксцесс сферического треугольника применяется при вычислении его площади, поскольку $S=R^{2}\varepsilon$ (здесь $R$ — радиус сферы, на которой расположен сферический треугольник, а эксцесс выражен в радианах).
• Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы $\theta _{a},\theta _{b},\theta _{c}$ при вершине, как:

$\Omega =4\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}$, где $\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}$ — полупериметр.

Через двугранные углы $\alpha ,\beta ,\gamma$ телесный угол выражается, как:

$\Omega =\alpha +\beta +\gamma -\pi$

Ссылки

• Сферический избыток — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Сферический избыток на сайте MathWorld