Эксцесс (сферическая тригонометрия)

Эксцесс сферического треугольника, или сферический избыток, — величина в сферической тригонометрии, показывающая, насколько сумма углов сферического треугольника превышает развёрнутый угол.

Сферический треугольник

ОпределениеПравить

Обозначим A, B, C радианные меры углов сферического треугольника. Тогда эксцесс

 

Свойства и вычислениеПравить

  • Поскольку в любом сферическом треугольнике, в отличие от треугольника на плоскости, сумма углов всегда больше π, то эксцесс всегда положителен. Сверху он ограничен числом 2π, то есть всегда меньше этого числа[1]:15.
  • Для вычисления эксцесса сферического треугольника со сторонами a, b, c используется формула Люилье[1]:94:
 
  • Для вычисления эксцесса сферического треугольника по сторонам a, b и углу C между ними используется формула[1]:95:
 

ПрименениеПравить

  • Эксцесс сферического треугольника применяется при вычислении его площади, поскольку   (здесь   — радиус сферы, на которой расположен сферический треугольник, а эксцесс выражен в радианах)[1]:99.
  • Телесный угол трёхгранного угла выражается по теореме Люилье через его плоские углы   при вершине, как:
 , где   — полупериметр.
Через двугранные углы   телесный угол выражается, как:
 

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 4 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.

СсылкиПравить