Теорема Баргмана — Вигнера

Теорема Баргмана — Вигнера — теорема аксиоматической квантовой теории поля. Раскрывает значение понятия универсальной накрывающей группы при преобразованиях Пуанкаре в релятивистской квантовой теории. Была доказана Ю. Вигнером и В. Баргманом.

Формулировка

Векторы состояния при преобразованиях из собственной группы Пуанкаре преобразуются по унитарному представлению её универсальной накрывающей (квантовомеханической собственной группы Пуанкаре).

Иначе говоря, из каждого луча $T(a,\Lambda )$ можно выбрать по одному представителю $U(a,\Lambda )\in T(a,\Lambda )$так что имеют место соотношения :

$U(0,1)=1,U({\underline {a_{1}}},A_{1})U({\underline {a_{2}}},A_{2})=U({\underline {a_{1}}}+A_{1}^{*}a_{2}A_{1},A_{1}A_{2})$

где $a$ определяется формулой $x=x^{\alpha }{\sigma }_{\alpha }=x^{0}\sigma _{0}+x^{1}\sigma _{1}+x^{2}\sigma _{2}+x^{3}\sigma _{3}={\begin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&x^{1}-ix^{2}\\x^{1}+ix^{2}&x^{0}-x^{3}\end{pmatrix}}$.

Пояснения

Лучом называется вектор состояния в сепарабельном гильбертовом пространстве. Группа $G_{2}$ называется универсальной накрывающей связной группы $G_{1}$, если $G_{2}$ — минимальная односвязная группа, гомоморфная $G_{1}$. $x$ — четырёхмерный вектор. $\sigma _{0},...,\sigma _{3}$ — матрицы Паули.

Литература

• Боголюбов Н.Н.,Логунов А.А., Тодоров И.Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — М.: Наука, 1969. — 424 с.