Теорема Бертрана — Диге — Пюизё

Теорема Бертрана–Диге–Пюизё в дифференциальной геометрии поверхностей выражает гауссову кривизну выражается либо в терминах длины геодезической окружности, либо в терминах площади геодезического диска. Теорема принадлежит Жозефу Бертрану, Виктору Пюизё и Шарлю Франсуа Диге.

Пусть $P$ — точка на гладкой поверхности $M$ . Геодезической окружностью радиуса $r$ с центром в точке $P$ называют множество всех точек поверхности $M$ , геодезическое расстояние которых от точки $P$ равно $r$ .

Пусть $C(r)$ — длина этой геодезической окружности, а $A(r)$ — площадь диска, содержащегося внутри этой окружности. Теорема Бертрана–Диге–Пюизё утверждает, что

K(P)=\lim _{r\to 0^{+}}3{\frac {2\pi r-C(r)}{\pi r^{3}}}=\lim _{r\to 0^{+}}12{\frac {\pi r^{2}-A(r)}{\pi r^{4}}}.

Теорема близка теореме Гаусса-Бонне.

Ссылки править

Berger, Marcel (2004), A Panoramic View of Riemannian Geometry, Springer-Verlag, ISBN 3-540-65317-1
Bertrand, J; Diguet, C.F.; Puiseux, V (1848), "Démonstration d'un théorème de Gauss" (PDF), Journal de Mathématiques, 13: 80—90
Spivak, Michael (1999), A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II, Publish or Perish Press, ISBN 0-914098-71-3