Теорема Гаусса — Люка

Теорема Гаусса — Люка даёт ограничения на корни производной многочлена с комплексными коэффициентами через корни самого многочлена.

Формулировка

Для произвольного не равного тождественно постоянной многочлена $P(z)$ с комплексными коэффициентами множество нулей его производной $P'(z)$ принадлежит выпуклой оболочке нулей многочлена $P(z)$.

О доказательстве

Доказательство теоремы опирается на следующее легко проверяемое утверждение: Если все корни многочлена $P(z)$ находятся в полуплоскости ${\rm {Re}}\,z<0$, тогда в области ${\rm {Re}}\,z\geq 0$ справедливо неравенство:

${\rm {Re}}\,{P'(z) \over P(z)}>0$,

из которого следует, что все корни производной также должны быть в полуплоскости ${\rm {Re}}\,z<0$.