Теорема Гурвица о нормированных алгебрах с делением

Теорема Гурвица о нормированных алгебрах — утверждение о множестве всех возможных алгебр с единицей, допускающих при введении скалярного произведения правило «норма произведения равна произведению норм» (нормированная алгебра). Установлена немецким математиком Гурвицем в 1898 году.[1].

Формулировка

править

Любая нормированная алгебра с единицей изоморфна одной из четырех алгебр: действительных чисел, комплексных чисел, кватернионов или октонионов[2].

Примечание

править

Здесь нормированной алгеброй называется алгебра, для любых двух элементов   и   которой выполняется тождество  , где   — произведение в алгебре,   — скалярное произведение.

Доказательство

править

Доказательство теоремы содержится в книге [3].

Примечания

править
  1. Hurwitz, A. (1898), "Über die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln", Goett. Nachr.: 309—316
  2. Гиперкомплексные числа, 1973, с. 99.
  3. Гиперкомплексные числа, 1973, с. 99-108.

Литература

править
  • Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — М.: Наука, 1973. — 143 с.