Теорема Каратеодори — Фейера

Теорема Каратеодори — Фейера:

Пусть

$P(z)=~c_{0}+~c_{1}z+\ldots +c_{n-1}z^{n-1}$

многочлен, $P\not \equiv 0$. Существует единственная рациональная функция

$R(z)=R(z,~c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})$

вида

$R(z)=\lambda {{\bar {\alpha }}_{n-1}+{\bar {\alpha }}_{n-2}z+\ldots +{\bar {\alpha }}_{0}z^{n-1} \over \alpha _{0}+\alpha _{1}z+\ldots +\alpha _{n-1}z^{n-1}},\ \lambda >0,$

регулярная в $\left|z\right|\leqslant 1$ и имеющая в своём разложении в ряд Маклорена $n$ первых коэффициентов, равных соответственно $c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1}$. Эта функция, и только она, реализует наименьшее значение

$M_{f}=\sup _{\left|z\right|<1}\left|f(z)\right|$

в классе всех регулярных в круге $\left|z\right|<1$ функций $f(z)$ вида

$f(z)=P(z)+~a_{n}z^{n}+\ldots ,$

и указанное наименьшее значение равно

$\lambda =\lambda (c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})$

Число $\lambda (c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})$ равно наибольшему положительному корню уравнения $2n$-й степени

${\begin{vmatrix}-\lambda &0&\ldots &0&c_{0}&c_{1}&\ldots &c_{n-1}\\0&-\lambda &\ldots &0&0&c_{0}&\ldots &c_{n-2}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\0&0&\ldots &-\lambda &0&0&\ldots &c_{0}\\{\bar {c_{0}}}&0&\ldots &0&-\lambda &0&\ldots &0\\{\bar {c_{1}}}&{\bar {c_{0}}}&\ldots &0&0&-\lambda &\ldots &0\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\{\bar {c}}_{n-1}&{\bar {c}}_{n-2}&\ldots &{\bar {c}}_{0}&0&0&\ldots &-\lambda \end{vmatrix}}$

Если $c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1}$ — действительные числа, то $\lambda (c_{0},~c_{1},\ldots ,~c_{n-1})$ являются наибольшим из абсолютных значений корней уравнения $n$-й степени

${\begin{vmatrix}-\lambda &0&\ldots &0&c_{0}\\0&-\lambda &\ldots &c_{0}&c_{1}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\c_{0}&c_{1}&\ldots &c_{n-2}&c_{n-1}-\lambda \end{vmatrix}}=0$

Литература

• Carathéodory C., Fejer L. Rend. Circolo mat. Palermo, — 1911, v. 32, p. 218—239.
• Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2 изд., — М., 1966.