Теорема Коши — Пуанкаре

Теорема Коши — Пуанкаре является обобщением на случай многомерного комплексного пространства интегральной теоремы Коши. Была доказана А. Пуанкаре в 1886 г.

Формулировка

Пусть $M$ — комплексное многообразие (комплексной) размерности $n$ и $\omega$ — голоморфная форма степени $n$ на этом многообразии. Тогда интеграл от $\omega$ по границе любой $(n+1)$ — мерной цепи $\sigma \subset M$ равен нулю: $\int \limits _{d\sigma }\omega =0$

Доказательство

В локальных координатах $(z,{\bar {z}})$, действующих в окрестности $U\subset M$, голоморфная форма имеет вид: $\omega =f(z)dz_{1}\wedge ...\wedge dz_{n}$, где $f$ — голоморфная в $U$ функция. В силу голоморфности ${\bar {\partial }}f=0$ и, значит $df=\partial f=\sum _{\mu =1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial z_{\mu }}}dz_{\mu }$; по свойствам внешнего произведения получаем, следовательно, что $d\omega =df\wedge dz_{1}\wedge ...\wedge dz_{n}=0$, то есть что форма $\omega$ замкнута. В силу формулы Стокса, интеграл от замкнутой формы $\omega (d\omega =0)$ по границе $\sigma =\partial \sigma ^{'}$ равен нулю: $\int \limits _{\sigma }\omega =\int \limits _{\partial \sigma ^{'}}d\omega =0$. Поэтому мы заключаем, что интеграл $\int \limits _{d\sigma }\omega =0$ равен нулю.

Литература

• Б. В. Шабат Введение в комплексный анализ, часть II, Функции нескольких переменных, М., Наука, 1985