Теорема Хадвигера

Теорема Хадвигера характеризует непрерывные валюации на выпуклых телах в евклидовом пространстве, инвариантные относительно движений. Доказана Гуго Хадвигером.

Введение

Валюации

Пусть $K^{n}$ — класс всех не пустых компактных выпуклых множеств в $\mathbb {R} ^{n}$ . Валюация на $K^{n}$ есть функция $v:K^{n}\to \mathbb {R}$ такая, что равенство

v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)

выполняется для любых $S,T\in K^{n}$ таких, что $S\cup T\in K^{n}$ ,

При этом

Валюация называется непрерывной, если она непрерывна относительно метрики Хаусдорфа.
Валюация называется инвариантной относительно движений, если для любого движения φ и любого $S\in K^{n}$ выполняется
$v(S)=v(\phi (S))$

Средняя поперечная мера

$k$ -ая средняя поредняя поперечная мера $W_{k}(S)$ тела $S\in K^{n}$ определяется как средняя $k$ -мерная площадь проекций $S$ на $k$ -мерные плоскости.

В частности,

$W_{n}(S)$ — объём $S$ ,
$W_{n-1}(S)$ — пропорциональна площади поверхности $S$ .
$W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)$

Формулировка

Любая непрерывная валюация v на Kⁿ , инвариантная относительно движений, может быть представлена в виде

v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}{\cdot }W_{j}(S).

Литература

Семён Алескер Введение в теорию валюаций на выпуклых множествах Видеозаписи лекций, Летняя математическая школа "Алгебра и геометрия" 25—31 июля, 2014 Ярославль
Hadwiger, H. Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. — Berlin: Springer, 1957.
Klain, D.A.; Rota, G.-C.^[англ.]. Introduction to geometric probability (неопр.). — Cambridge: Cambridge University Press, 1997. — ISBN 0-521-59362-X.
Chen, B. A simplified elementary proof of Hadwiger's volume theorem (англ.) // Geom. Dedicata : journal. — 2004. — Vol. 105. — P. 107—120. — doi:10.1023/b:geom.0000024665.02286.46.