Теорема Харди — Литтлвуда

Для термина «Харди» см. также другие значения.

Для термина «Литтлвуд» см. также другие значения.

Теорема Харди—Литтлвуда — теорема о свойствах степенных рядов вблизи границы круга сходимости. Доказана Харди и Литтлвудом в 1914 году.

Формулировка

Пусть $a_{n}\geqslant 0$ для всех $n$. Если при $x\rightarrow 1$

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\sim {\frac {1}{1-x}},$

то при $n\rightarrow \infty$

$s_{n}=\sum _{\mu =0}^{n}a_{\mu }\sim n.$

Здесь $\sim$ обозначает асимптотическое равенство.

Литература

• Титчмарш, Э. Ч. Теория функций. — 2-е изд., перераб.. — М.: Наука, 1980. — 464 с.