Асимптотическое равенство

Асимптотическое равенство в математическом анализеотношение эквивалентности между функциями, отношение которых стремится к единице, при стремлении к бесконечности их аргументов: функции и называются асимптотически равными (или асимптотически эквивалентными), если:

.

Для обозначения асимптотического равенства используется тильда: .

Равносильное определение асимптотического равенства с использованием -нотации — выполнение соотношения [1].

Говоря неформально, асимптотические функции почти равны при достаточно больших значениях (то есть можно добиться сколь угодно малой относительной погрешности по отношению к , и наоборот).

ПримерыПравить

Для всякого полинома   выполнено  .

Довольно известной является формула Стирлинга, приближающая факториал непрерывной функцией:

 .

Асимптотики полезны при оценке комбинаторных величин с достаточно большими параметрами. Например, подставив формулу Стирлинга в явную формулу вычисления биномиального коэффициента, можно получить, что:

 .

Количество простых чисел, меньших некоторого заданного числа, также имеет простое асимптотическое приближение:

 ,

где   — количество простых чисел, меньших  .

СвойстваПравить

Асимптотическое равенство в полном смысле является отношением эквивалентности, то есть оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Если  , то  , и наоборот, где  

Если  , то  . Однако обратное, вообще говоря, неверно. Как пример можно привести   и  . Логарифмы этих функций асимптотически эквивалентны, но предельной точкой их отношения является бесконечная точка.

  тогда и только тогда, когда  .

Если  ,   и  , то  .

Согласно теореме Штольца, для двух бесконечных рядов:

  и  ,

если   и ряд:

 

расходится, то из   следует, что:

 .

Порядок ростаПравить

Сходным по смыслу с асимптотическим равенством, но менее строгим отношением является наличие одинакового порядка роста величин. Говорят, что функция   имеет порядок роста   если  . В этом случае используют обозначение   или  .

При этом из одинаковости порядка роста отнюдь не следует существование константы   такой, что  . Для примера достаточно заметить, что  , так как  , однако не существует такой константы  , что  .

ПримечанияПравить

  1. Не следует путать это соотношение с соотношением  , где предел разности стремится к нулю, что для асимптотик, вообще говоря, необязательно.