Теорема Хольмгрена

Теорема Хольмгрена — теорема о единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения с частными производными в случае аналитичности коэффициентов дифференциального оператора.

Формулировка

Рассмотрим пространство $R^{n+1}$ . Обозначим $D_{\epsilon }$ область пространства $R^{n+1}(x,t)$ такую, что $|x|^{2}+|t|<\epsilon$ . Обозначим оператор частного дифференцирования $L\equiv \left({\frac {d}{dt}}\right)^{m}+\sum _{|\nu |+j\leqslant m,j\leqslant m-1}a_{\nu ,j}(x,t)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{\nu }\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}$ . Пусть все коэффициенты $a_{\nu ,j}(x,t)$ оператора $L$ аналитичны в окрестности $U$ начала координат. Тогда существует такое $\epsilon _{0}>0$ , что если $0<\epsilon <\epsilon _{0}$ и $u(x,t)\in \mathrm {E} ^{m}(D_{\epsilon })$ , причём $Lu=0$ в $D_{\epsilon }$ , $\left({\frac {d}{dt}}\right)^{j}u(x,0)=0$ , $(j=0,1,...,m-1)$ , $x\in D_{\epsilon }$ , то $u(x,t)\equiv 0$ в $D_{\epsilon }$ .