Открыть главное меню

Теорема Коши — Ковалевской — теорема о существовании и единственности локального решения задачи Коши для дифференциального уравнения в частных производных. Теорема Ковалевской является одной из основных и наиболее часто используемых теорем в теории уравнений с частными производными: теорема Хольмгрена о единственности решения задачи Коши, теоремы существования решения задачи Коши для гиперболических уравнений, теория разрешимости линейных уравнений используют теорему Ковалевской.

Содержание

ФормулировкаПравить

Рассмотрим пространство  . Точку пространства   будем обозначать через  , а точку, принадлежащую  , через  . Обозначим оператор частного дифференцирования

 

Предположим, что коэффициенты оператора   определены в окрестности   начала координат в пространстве переменных   и являются аналитическими функциями. Пусть функция   также аналитична в  . Пусть вектор   начальных данных является аналитическим в некоторой окрестности начала координат   — пространства. Тогда существуют окрестность   начала координат и единственная аналитическая функция  , определённая в  , для которой

 

ДоказательствоПравить

Положим

 

Тогда из   вытекает, что

 

Поэтому, не теряя общности, можно предположить, что начальные данные для   равны нулю. Перепишем   в виде

 

где   — полином по   степени  , коэффициенты которого аналитичны в окрестности   начала координат. Легко видеть, что коэффициенты   разложения в ряд Тейлора

 

определяются однозначно уравнением   и начальными условиями. Дальше доказывается сходимость ряда  .

Для доказательства сходимости ряда   используются мажорантные ряды и полиномы. Функция   называется мажорантным рядом для   в начале координат, если она является аналитической в этой точке и коэффициенты   её разложения в ряд Тейлора больше или равны абсолютным значениям соответствующих коэффициентов   разложения функции   в ряд Тейлора, то есть  .

ИсторияПравить

Теорема была представлена С.В. Ковалевской в Геттингенский университет вместе с двумя другими работами в качестве докторской диссертации в 1874 году.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить