Порядок Шарковского

Порядок Шарковского — упорядочение натуральных чисел, связанное с исследованием периодических точек динамических систем на отрезке или на вещественной прямой.

История

Исследуя унимодальные отображения, в частности, квадратичное отображение, А. Н. Шарковский в 1964 году обнаружил, что в области «хаоса» на соответствующей бифуркационной диаграмме имеются так называемые «окна периодичности» — узкие интервалы значений параметра $r$, в которых существуют периодические движения; им и соответствуют переходы в порядке Шарковского. В частности, двигаясь в нижней строке против направления стрелок от 1, мы проходим каскад удвоений периодов Фейгенбаума.

Формулировка

Для целых положительных чисел $a$ и $b$ мы будем писать $a\to b$, если динамическая система на отрезке или прямой, имеющая точку наименьшего периода a, имеет и точку наименьшего периода b.

Теорема Шарковского утверждает, что таким образом задаётся полный порядок на множестве натуральных чисел, устроенный следующим образом:

→ 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → …

→ 3×2 → 5×2 → 7×2 → 9×2 → 11×2 → 13×2 → …

→ 3×2² → 5×2² → 7×2² → 9×2² → 11×2² → 13×2² → …

…………………………………

→ 2ⁿ → 2ⁿ⁻¹ → … → 2⁵ → 2⁴ → 2³ → 2² → 2 → 1.

В верхней строчке выписаны в порядке возрастания все нечётные числа, кроме 1, во второй строке — произведения нечётных чисел (кроме 1) на 2, в третьей — произведения нечётных чисел на 2², в k-й строке сверху — произведения нечётных чисел на $2^{k-1}$. Наконец, в последней (нижней) строке представлены чистые степени двойки.

Период 3 влечёт хаос

В частности, число 3 — наибольшее в смысле этого упорядочения, поэтому наличие точки периода 3 влечёт за собой наличие точки с любым периодом. Часто этот частный случай сокращённо формулируют как «период 3 влечёт хаос». Случай периодической точки периода 3 — наиболее содержательный. В случае наличия точки периода 3 можно утверждать «хаотичность» системы и в других смыслах; например, топологическая энтропия системы будет положительна.

Набросок доказательства

В этом случае найдутся различные точки $a,b,c$, для которых

$f(a)=b,\quad f(b)=c,\quad f(c)=a.$

Можно без ограничения общности считать, что $a<b<c$.

Тогда для отрезков $I_{0}=[a,b]$ и $I_{1}=[b,c]$ выполнено

$f(I_{0})\supset I_{1},\quad f(I_{1})\supset I_{0}\cup I_{1}.$

Отсюда несложно вывести, что для любого конечного слова $w=w_{0}w_{1}\dots w_{k-1}$, составленного из нулей и единиц и не содержащего двух нулей подряд, найдётся такой интервал $I_{w}$, что

$f^{j}(I_{w})\subset I_{w_{j}},\quad j=1,\dots ,k-2,$

$f^{k-1}(I_{w})=I_{w_{k-1}}.$

Отсюда уже несложно построить периодическую точку любого периода $k$: достаточно взять в алфавите из нулей и единиц любое периодическое слово $\omega =(w),\ |w|=k$ наименьшего периода $k$ без двух нулей подряд. Для соответствующего ему отрезка $I_{w}$ выполнено

$f^{k}(I_{w})\supset I_{w},$

поэтому в этом отрезке найдётся периодическая точка соответствующего периода. Наконец, в терминах символической динамики (для разбиения $I_{0}$, $I_{1}$, дополнение) её судьба это последовательность $\omega$, у которой $k$ является наименьшим периодом, поэтому $k$ является наименьшим периодом и для построенной точки.

Литература

• Шарковский А. Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя // Украинский математический журнал. — 1964. — Т. 16, № 1. — С. 61—71.
• Шарковский А. Н., Коляда С. Ф., Спивак А. Г., Федоренко В. В. Динамика одномерных отображений. — Киев: Наукова думка, 1989. — 216 с.
• Данилов Ю. А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. — М.: Постмаркет, 2001. — 184 с.

Ссылки

• Клименко А. В. Теорема Шарковского (часть 1) + (часть 2) на YouTube