Открыть главное меню

Порядок Шарковского

(перенаправлено с «Теорема Шарковского»)

Порядок Шарковского — упорядочение натуральных чисел, связанное с исследованием периодических точек динамических систем на отрезке или на вещественной прямой.

ФормулировкаПравить

Для целых положительных чисел   и   мы будем писать  , если динамическая система на отрезке или прямой, имеющая точку наименьшего периода a, имеет и точку наименьшего периода b.

Теорема Шарковского утверждает, что таким образом задаётся полный порядок на множестве натуральных чисел, устроенный следующим образом:

→ 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → …
→ 3×2 → 5×2 → 7×2 → 9×2 → 11×2 → 13×2 → …
→ 3×2² → 5×2² → 7×2² → 9×2² → 11×2² → 13×2² → …
…………………………………
→ 2n → 2n−1 → … → 25 → 24 → 2³ → 2² → 2 → 1.

В верхней строчке выписаны в порядке возрастания все нечётные числа, кроме 1, во второй строке — произведения нечётных чисел (кроме 1) на 2, в третьей — произведения нечётных чисел на 2², в k-й строке сверху — произведения нечётных чисел на  . Наконец, в последней (нижней) строке представлены чистые степени двойки.

Период 3 влечёт хаосПравить

В частности, число 3 — наибольшее в смысле этого упорядочения, поэтому наличие точки периода 3 влечёт за собой наличие точки с любым периодом. Часто этот частный случай сокращённо формулируют как «период 3 влечёт хаос». Случай периодической точки периода 3 — наиболее содержательный. В случае наличия точки периода 3 можно утверждать «хаотичность» системы и в других смыслах; например, топологическая энтропия системы будет положительна.[источник?]

Набросок доказательстваПравить

В этом случае найдутся различные точки  , для которых

 

Можно без ограничения общности считать, что  .

Тогда для отрезков   и   выполнено

 

Отсюда несложно вывести, что для любого конечного слова  , составленного из нулей и единиц и не содержащего двух нулей подряд, найдётся такой интервал  , что

 
 

Отсюда уже несложно построить периодическую точку любого периода  : достаточно взять в алфавите из нулей и единиц любое периодическое слово   наименьшего периода   без двух нулей подряд. Для соответствующего ему отрезка   выполнено

 

поэтому в этом отрезке найдётся периодическая точка соответствующего периода. Наконец, в терминах символической динамики (для разбиения  ,  , дополнение) её судьба это последовательность  , у которой   является наименьшим периодом, поэтому   является наименьшим периодом и для построенной точки.

ИсторияПравить

Исследуя унимодальные отображения, в частности, квадратичное отображение, Александр Николаевич Шарковский в 1964 году обнаружил, что в области «хаоса» на соответствующей бифуркационной диаграмме имеются так называемые «окна периодичности» — узкие интервалы значений параметра   (см. квадратичное отображение), в которых существуют периодические движения; им и соответствуют переходы в порядке Шарковского. В частности, двигаясь в нижней строке против направления стрелок от 1, мы проходим каскад удвоений периодов Фейгенбаума.

ЛитератураПравить

  • Шарковский А. Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя // Украинский математический журнал. — 1964. — Т. 16, № 1. — С. 61—71.
  • Шарковский А. Н., Коляда С. Ф., Спивак А. Г., Федоренко В. В. Динамика одномерных отображений. — Киев: Наукова думка, 1989. — 216 с.
  • Данилов Ю. А. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. — М: Постмаркет, 2001. — 184 с.