Открыть главное меню
Пучок на семи точках

Теорема де Брёйна — Эрдёша — один из важных результатов в геометрии инцидентности, устанавливает точную нижнюю оценку на число прямых, определённых точками на проективной плоскости. По двойственности из этой теоремы следует ограничение на число пересечений конфигурации прямых.

Содержание

ИсторияПравить

ФормулировкаПравить

Пусть задан набор   из   точек на проективной плоскости, из которых не все лежат на одной прямой. Пусть   это число всех прямых, проходящих через пары точек из  : Тогда  . Более того, если  , то любые две прямые пересекаются в точке из  .

ДоказательствоПравить

Стандартное доказательство ведётся по индукции. Теорема определённо верна для трёх точек, не лежащих на одной прямой. Пусть  , утверждение верно для   и   — множество из   точек, не все из которых лежат на одной прямой. По теореме Сильвестра одна из этих прямых проходит ровно через две точки из  . Обозначим эти две точки   и  .

Если при удалении точки   все оставшиеся точки будут на одной прямой, то   образует пучок из   прямых (  простых прямых проходят через  , плюс одна прямая, проходящая через остальные точки). В противном случае удаление   образует множество   из   неколлинеарной точки. По предположению индукции через   проходят   прямые, что по меньшей мере на единицу меньше числа прямых, проходящих через точки множества  .

ЛитератураПравить

  • N. G. de Bruijn, P. Erdős. A combinatioral [sic] problem // Indagationes Mathematicae. — 1948. — Т. 10. — С. 421—423.
  • Lynn Margaret Batten. Combinatorics of finite geometries. — Cambridge University Press, 1997. — С. 25–27. — ISBN 0-521-59014-0.