Теорема о перестановке ряда

Теорема о перестановке ряда:

Перестановка абсолютно сходящегося ряда приводит к сходящемуся ряду с той же суммой.

Доказательство

Далее $m_{k}=\varphi (k)$, где $\varphi :\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$— перестановка натурального ряда.

Если ряд $\sum a_{k}$ положительный, то

$\sum _{k=1}^{n}a_{m_{k}}$$\leqslant \sum _{k=1}^{N}a_{k},$

где $N=\max \left\{m_{1},m_{2},...,m_{n}\right\},$ и поэтому

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{m_{k}}$$\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.$

Следовательно, перестановка ряда не увеличивает суммы, а так как ряд $\sum a_{k}$ в свою очередь является перестановкой ряда $\sum a_{m_{k}}$, то обе суммы совпадают.
Если ряд $\sum a_{k}$ знакопеременный, то на основании первой части доказательства

$\sum _{k=1}^{\infty }a_{m_{k}}$$=\sum _{k=1}^{\infty }b_{m_{k}}$$-\sum _{k=1}^{\infty }c_{m_{k}}$$=\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}-\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.$

См. также

• Теорема Римана об условно сходящихся рядах — противоположный результат для условно сходящихся рядов.

Литература

• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.