Теорема о трёх перпендикулярах

Теорема о трёх перпендикулярах — фундаментальная теорема стереометрии.[1]

ФормулировкаПравить

Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярная к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

ДоказательствоПравить

Пусть   — перпендикуляр к плоскости  ,   — наклонная и   — прямая в плоскости  , проходящая через точку   и перпендикулярная проекции  . Проведём прямую   параллельно прямой  . Прямая   перпендикулярна плоскости   (так как она параллельна  ), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно,   перпендикулярна прямой  . Проведём через параллельные прямые   и   плоскость   (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). Прямая   перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости  , это   по условию и   по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой  .

Теорема, обратная теореме о трех перпендикулярахПравить

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

ДоказательствоПравить

Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости α, АС — наклонная и с — прямая в плоскости α, проходящая через основание наклонной С. Проведем прямую СК, параллельно прямой АВ. Прямая СК перпендикулярна плоскости α (по этой теореме, так как она параллельна АВ), а значит и любой прямой этой плоскости, следовательно, СК перпендикулярна прямой с. Проведем через параллельные прямые АВ и СК плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). Прямая с перпендикулярна двум прямым лежащим в плоскости β, это АС по условию и СК , значит она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит перпендикулярна и прямой ВС. Другими словами проекция ВС перпендикулярна прямой с, лежащей в плоскости α.

Пример использованияПравить

Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

РешениеПравить

Решение: пусть а — прямая и А — точка на ней. Возьмем любую точку Х вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость α. В плоскости α через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную а.

ПримечанияПравить

  1. См. например Геометрия по Киселёву, §302.

СсылкиПравить