Тепловая машина Карно

Тепловая машина Карно или тепловой двигатель Карно^[2] — это теоретический двигатель, работающий по циклу Карно. Базовая модель этого двигателя была разработана Сади Карно в 1824 году. Модель теплового двигателя Карно была графически расширена Бенуа Полем Эмилем Клапейроном в 1834 году и математически исследована Рудольфом Клаузиусом в 1857 году, работа, которая привела к фундаментальной термодинамической концепции энтропии.

Осевое сечение тепловой машины Карно. На этой диаграмме *abcd* — цилиндрический сосуд, cd — подвижный поршень, а A и B — тела с постоянной температурой. Сосуд может контактировать с любым телом или отодвигаться от обоих (как здесь)^[1].

Каждая термодинамическая система существует в определённом состоянии. Термодинамический цикл происходит, когда система проходит через серию различных состояний и, наконец, возвращается в исходное состояние. В процессе прохождения этого цикла система может выполнять работу над своим окружением, тем самым действуя как тепловой двигатель.

Тепловой двигатель действует, передавая энергию из более тёплой области в более холодную область пространства и, при этом, преобразуя часть этой энергии в механическую работу. Цикл также может быть обратным. На систему можно воздействовать внешней силой, и в процессе она может передавать тепловую энергию от более холодной системы к более тёплой, тем самым действуя как холодильник или как тепловой насос, а не как тепловая машина.

Диаграмма Карно

На соседней диаграмме из работы Карно 1824 года «Размышления о движущей силе огня»^[3] изображены «два тела A и B, каждое из которых поддерживается при постоянной температуре, причем температура A выше, чем у B. Мы можем отдавать тепло этим телам или забирать тепло без изменения их температуры. Эти тела выполняют функции двух неограниченных резервуаров теплорода. Первое мы назовем печью, а второе — холодильником»^[4]. Затем Карно объясняет, как мы можем получить движущую силу, то есть «работу», перенося определённое количество тепла от тела A к телу B. Подобная машина, приводимая в движение внешней силой, также может действовать как холодильник, совершая цикл в обратном направлении.

Современная диаграмма

Схема тепловой машины Карно (современная) — где количество тепла Q_H течёт из высокотемпературного нагревателя T_H через вещество «рабочего тела», а оставшееся тепло Q_C течёт в охладитель T_C, таким образом заставляя рабочее вещество совершать механическую работу W над окружающей средой посредством циклов сжатия и расширения.

На предыдущем изображении показана оригинальная диаграмма в виде поршня и цилиндра, которую Карно использовал при обсуждении своих идеальных двигателей. На рисунке справа показана блок-схема типового теплового двигателя, такого как двигатель Карно. На схеме «рабочее тело» (система), термин, введенный Клаузиусом в 1850 году, может быть любым твердым, жидким или газообразным веществом, через которое тепло Q может вводиться или передаваться для производства работы. Карно постулировал, что рабочим телом может быть любое вещество, способное к расширению, например пары воды, пары спирта, пары ртути, постоянный газ или воздух и так далее. Хотя в те ранние годы двигатели выпускались в различных конфигурациях, обычно теплотаQ_H подводилась с помощью котла, в котором вода кипятилась над топкой; теплотаQ_C отнималась потоком холодной проточной воды в виде конденсатора, который являлся отдельной частью двигателя. Выходная работа W представляет движение поршня, когда он используется для поворота кривошипа, который, в свою очередь, обычно использовался для приведения в действие насоса, использовавшегося для откачки воды из затопленных соляных шахт. Карно определял работу как «поднятие тяжестей на высоту».

Цикл Карно

Рисунок 1: Цикл Карно, изображенный на PV-диаграмме, чтобы проиллюстрировать проделанную работу.

Рисунок 2: Цикл Карно, действующий как тепловая машина, проиллюстрированный на диаграмме температура-энтропия. Цикл происходит между горячим резервуаром при температуре T _H и холодным резервуаром при температуре T _C. Вертикальная ось — температура, горизонтальная ось — энтропия.

Цикл Карно при работе в качестве теплового двигателя состоит из следующих этапов:

Обратимое изотермическое расширение газа при «горячей» температуре T_H (изотермическое добавление или поглощение тепла). На этом этапе (от A до B) газ расширяется, и он воздействует на окружающую среду. Температура газа не изменяется во время процесса, и поэтому расширение является изотермическим. Расширение газа происходит за счёт поглощения тепловой энергии Q_H и энтропии. $\Delta S_{\text{H}}=Q_{\text{H}}/T_{\text{H}}$ из высокотемпературного резервуара.
Изоэнтропическое (обратимое адиабатическое) расширение газа (изоэнтропическая работа на выходе). Для этого этапа (от B до C) предполагается, что поршень и цилиндр имеют теплоизоляцию, поэтому они не получают и не теряют тепло. Газ продолжает расширяться, воздействуя на окружающую среду и теряя эквивалентное количество внутренней энергии. Расширение газа вызывает его охлаждение до «холодной» температуры T_C. Энтропия остается неизменной.
Обратимое изотермическое сжатие газа при «холодной» температуре, Т_С. (отвод изотермического тепла) (от C до D) Теперь газ подвергается воздействию холодного температурного резервуара, в то время как окружающая среда воздействует на газ, сжимая его (например, посредством обратного сжатия поршня), вызывая при этом некоторое количество тепловой энергии Q_C и энтропии $\Delta S_{\text{C}}=Q_{\text{C}}/T_{\text{C}}$ перетечь из газа в низкотемпературный резервуар. (Это то же количество энтропии, которое было поглощено на шаге 1.) Эта работа меньше, чем работа, выполняемая с окружающей средой на этапе 1, потому что она происходит при более низком давлении, учитывая отвод тепла в холодный резервуар, когда происходит сжатие (то есть сопротивление сжатию ниже на этапе 3, чем сила расширения на шаге 1).
Изоэнтропическое сжатие газа. (D — A) И снова предполагается, что поршень и цилиндр теплоизолированы, а резервуар для холодной температуры удален. Во время этого шага окружающая среда продолжает работу по дальнейшему сжатию газа, при этом температура и давление повышаются теперь, когда радиатор был удален. Эта дополнительная работа увеличивает внутреннюю энергию газа, сжимая его и вызывая повышение температуры до T_H. Энтропия остается неизменной. В этот момент газ находится в том же состоянии, что и в начале шага 1.

Теорема Карно

Реальные идеальные двигатели (слева) по сравнению с циклом Карно (справа). Энтропия реального материала изменяется с температурой. Это изменение показано кривой на диаграмме TS . На этом рисунке кривая указывает на парожидкостное равновесие (см. Цикл Ренкина). Необратимые системы и потери тепла (например, из-за трения) препятствуют достижению идеала на каждом этапе.

Теорема Карно является формальным утверждением этого факта: КПД любого теплового двигателя работающего по циклу Карно между двумя тепловыми резервуарами, независимо от устройства двигателя, является функцией только температур холодного и горячего резервуаров и всегда больше КПД любого другого теплового двигателя работающего по иному циклу между теми же резервуарами.

$\eta _{I}={\frac {W}{Q_{\mathrm {H} }}}=1-{\frac {T_{\mathrm {C} }}{T_{\mathrm {H} }}}$

Объяснение Эта максимальная эффективность $\eta _{\text{I}}$ определяется, как указано выше:

W — работа, совершаемая системой,

Q_{\text{H}}

тепло, поступающее в систему,

T_{\text{C}}

— абсолютная температура холодного резервуара, а

T_{\text{H}}

— абсолютная температура горячего резервуара.

Следствие теоремы Карно гласит, что: все реверсивные двигатели, работающие между одними и теми же тепловыми резервуарами, одинаково эффективны.

Эффективность η максимальна, когда весь циклический процесс является обратимым. Это означает, что полная энтропия полной системы (энтропии горячей печи, «рабочего тела» теплового двигателя и холодного стока) остается постоянной, когда «рабочее тело» завершает один цикл и возвращается в исходное состояние. (В общем случае полная энтропия этой комбинированной системы увеличилась бы в общем необратимом процессе).

Поскольку «рабочая жидкость» возвращается в то же состояние после одного цикла, а энтропия системы является функцией состояния; изменение энтропии системы «рабочей жидкости» равно 0. Таким образом, это означает, что полное изменение энтропии печи и стока равно нулю, чтобы процесс был обратимым, а КПД двигателя был максимальным. Этот вывод проводится в следующем разделе.

Коэффициент полезного действия (COP) теплового двигателя обратно пропорционален его КПД.

КПД реальных тепловых машин

Для настоящего теплового двигателя полный термодинамический процесс обычно необратим. Рабочая жидкость возвращается в исходное состояние после каждого цикла, и, таким образом, изменение энтропии жидкостной системы равно 0, но сумма изменений энтропии в горячем и холодном резервуаре в этом циклическом процессе больше 0.

Внутренняя энергия жидкости — это функция состояния, поэтому её полное изменение за один цикл равно 0. Таким образом, общая работа, выполняемая системой W, равна теплу, подводимому к системе. $Q_{\text{H}}$ минус отводимое тепло $Q_{\text{C}}$ .

W=Q_{\text{H}}-Q_{\text{C}}

Для реальных двигателей — пути 1 и 3 цикла Карно; в котором тепло поглощается «рабочей жидкостью» из горячего резервуара и передаётся ей соответственно в холодный резервуар; больше не остаются идеально обратимыми, и существует разница температур между температурой резервуара и температурой жидкости во время теплообмена.

При передаче тепла от горячего резервуара при $T_{\text{H}}$ к жидкости, жидкость будет иметь немного более низкую температуру, чем $T_{\text{H}}$ , и процесс для жидкости не обязательно может оставаться изотермическим. Пусть $\Delta S_{\text{H}}$ — это полное изменение энтропии жидкости в процессе приёма тепла.

\Delta S_{\text{H}}=\int _{Q_{\text{in}}}{\frac {{\text{d}}Q_{\text{H}}}{T}}

где температура жидкости T всегда немного меньше, чем $T_{\text{H}}$ , в этом процессе.

Итак, получилось бы:

{\frac {Q_{\text{H}}}{T_{\text{H}}}}={\frac {\int {\text{d}}Q_{\text{H}}}{T_{\text{H}}}}\leq \Delta S_{\text{H}}

Точно так же во время передачи тепла из жидкости в холодный резервуар для величины изменения общей энтропии $\Delta S_{\text{C}}$ жидкости в процессе отвода тепла:

\Delta S_{\text{C}}=\int _{Q_{\text{out}}}{\frac {{\text{d}}Q_{\text{C}}}{T}}\leq {\frac {\int {\text{d}}Q_{\text{C}}}{T_{\text{C}}}}={\frac {Q_{\text{C}}}{T_{\text{C}}}}

,

где во время этого процесса передачи тепла в холодный резервуар температура жидкости T всегда немного больше, чем $T_{\text{C}}$ .

Мы рассмотрели здесь только величину изменения энтропии. Поскольку полное изменение энтропии жидкой системы для циклического процесса равно 0, то

\Delta S_{\text{H}}=\Delta S_{\text{C}}

Предыдущие три уравнения в совокупности дают:

{\frac {Q_{\text{C}}}{T_{\text{C}}}}\geq {\frac {Q_{\text{H}}}{T_{\text{H}}}}

Уравнения (2) и (7) вместе дают

{\frac {W}{Q_{\text{H}}}}\leq 1-{\frac {T_{\text{C}}}{T_{\text{H}}}}

Следовательно,

\eta \leq \eta _{\text{I}}

где $\eta ={\frac {W}{Q_{\text{H}}}}$ — КПД реального двигателя, а $\eta _{\text{I}}$ КПД машины Карно, работающего между одними и теми же двумя резервуарами при температурах $T_{\text{H}}$ а также $T_{\text{C}}$ . Для двигателя Карно весь процесс «обратим», и уравнение (7) является равенством.

Следовательно, эффективность реального двигателя всегда ниже, чем у идеального двигателя Карно.

Уравнение (7) означает, что полная энтропия всей системы (два резервуара + жидкость) увеличивается для реального двигателя, потому что прирост энтропии холодного резервуара как $Q_{\text{C}}$ втекает в него при фиксированной температуре $T_{\text{C}}$ , больше, чем потеря энтропии горячего резервуара, поскольку $Q_{\text{H}}$ оставляет его при фиксированной температуре $T_{\text{H}}$ . Неравенство в уравнении (7) по существу является утверждением теоремы Клаузиуса.

Согласно второй теореме «КПД двигателя Карно не зависит от природы рабочего тела».

Примечания

↑ Figure 1 in Carnot (1824, p. 17) and Carnot (1890, p. 63). In the diagram, the diameter of the vessel is large enough to bridge the space between the two bodies, but in the model, the vessel is never in contact with both bodies simultaneously. Also, the diagram shows an unlabeled axial rod attached to the outside of the piston.
↑ In French, Carnot uses machine à feu, which Thurston translates as heat-engine or steam-engine. In a footnote, Carnot distinguishes the steam-engine (machine à vapeur) from the heat-engine in general. (Carnot, 1824, p. 5 and Carnot, 1890, p. 43)
↑ Sometimes translated as Reflections on the Motive Power of Heat (неопр.). Дата обращения: 26 апреля 2021. Архивировано 23 января 2020 года.
↑ English translation by Thurston (Carnot, 1890, p. 51-52).

[1] Figure 1 in Carnot (1824, p. 17) and Carnot (1890, p. 63). In the diagram, the diameter of the vessel is large enough to bridge the space between the two bodies, but in the model, the vessel is never in contact with both bodies simultaneously. Also, the diagram shows an unlabeled axial rod attached to the outside of the piston.

[2] In French, Carnot uses machine à feu, which Thurston translates as heat-engine or steam-engine. In a footnote, Carnot distinguishes the steam-engine (machine à vapeur) from the heat-engine in general. (Carnot, 1824, p. 5 and Carnot, 1890, p. 43)

[3] Sometimes translated as Reflections on the Motive Power of Heat (неопр.). Дата обращения: 26 апреля 2021. Архивировано 23 января 2020 года.

[4] English translation by Thurston (Carnot, 1890, p. 51-52).

[2]

[1]

[3]

[4]