Тест Дики — Фуллера

Тест Дики — Фуллера (DF-тест, Dickey — Fuller test) — это методика, которая используется в прикладной статистике и эконометрике для анализа временных рядов для проверки на стационарность. Является одним из тестов на единичные корни (Unit root test). Был предложен в 1979 году Дэвидом Дики и Уэйном Фуллером.

За вклад в исследование коинтегрированных процессов с использованием предложенного теста Дики — Фуллера проверки на стационарность, в 2003 году Клайв Грейнджер получил Нобелевскую премию по экономике.

Понятие единичного корня

Основная статья: Единичный корень

Временной ряд имеет единичный корень, или порядок интеграции один, если его первые разности образуют стационарный ряд. Это условие записывается как $y_{t}\thicksim I(1)$ если ряд первых разностей $\triangle y_{t}=y_{t}-y_{t-1}$ является стационарным $\triangle y_{t}\thicksim I(0)$.

При помощи этого теста проверяют значение коэффициента $a$ в авторегрессионном уравнении первого порядка AR(1)

$y_{t}=a\cdot y_{t-1}+\varepsilon _{t},$

где $y_{t}$ — временной ряд, а $\varepsilon$ — ошибка.

Если $a=1$, то процесс имеет единичный корень, в этом случае ряд $y_{t}$ не стационарен, является интегрированным временным рядом первого порядка — $I(1)$. Если $|a|<1$, то ряд стационарный — $I(0)$.

Для финансово-экономических процессов значение $|a|>1$ не свойственно, так как в этом случае процесс является «взрывным». Возникновение таких процессов маловероятно, так как финансово-экономическая среда достаточно инерционная, что не позволяет принимать бесконечно большие значения за малые промежутки времени.

Сущность DF-теста

Приведенное авторегрессионное уравнение AR(1) можно переписать в виде:

$\triangle y_{t}=b\cdot y_{t-1}+\varepsilon _{t},$

где $b=a-1$, а $\triangle$ — оператор разности первого порядка $\triangle y_{t}=y_{t}-y_{t-1}$.

Поэтому проверка гипотезы о единичном корне в данном представлении означает проверку нулевой гипотезы о равенстве нулю коэффициента $b$. Поскольку случай «взрывных» процессов исключается, то тест является односторонним, то есть альтернативной гипотезой является гипотеза о том, что коэффициент $b$ меньше нуля. Статистика теста (DF-статистика) — это обычная $t$-статистика для проверки значимости коэффициентов линейной регрессии. Однако, распределение данной статистики отличается от классического распределения $t$-статистики (распределение Стьюдента или асимптотическое нормальное распределение). Распределение DF-статистики выражается через винеровский процесс и называется распределением Дики — Фуллера.

Существует три версии теста (тестовых регрессий):

1. Без константы и тренда

$\triangle y_{t}=b\cdot y_{t-1}+\varepsilon _{t}.$

1. С константой, но без тренда:

$\triangle y_{t}=b_{0}+b\cdot y_{t-1}+\varepsilon _{t}.$

1. С константой и линейным трендом:

$\triangle y_{t}=b_{0}+b_{1}\cdot t+b\cdot y_{t-1}+\varepsilon _{t}.$

Для каждой из трёх тестовых регрессий существуют свои критические значения DF-статистики, которые берутся из специальной таблицы Дики — Фуллера (МакКиннона). Если значение статистики лежит левее критического значения (критические значения — отрицательные) при данном уровне значимости, то нулевая гипотеза о единичном корне отклоняется и процесс признается стационарным (в смысле данного теста). В противном случае гипотеза не отвергается и процесс может содержать единичные корни, то есть быть нестационарным (интегрированным) временным рядом.

Критические значения статистики Дики — Фуллера

Критические значения статистики Дики — Фуллера при 1%-ном уровне значимости

Размер выборки	AR-модель	AR-модель с константой	AR-модель с константой и трендом
25	-2,66	-3,75	-4,38
50	-2,62	-3,58	-4,15
100	-2,60	-3,51	-4,04
$\infty$	-2,58	-3,43	-3,96

Для сравнения критическое значение распределения Стьюдента для всех моделей на больших объёмах выборки — 2,33, на малых выборках — 2,5. МакКинноном также выведены приблизительные формулы для оценки критических значений.

Расширенный тест Дики — Фуллера (ADF)

Если в тестовые регрессии добавить лаги первых разностей временного ряда, то распределение DF-статистики (а значит, критические значения) не изменится. Такой тест называют расширенным тестом Дики — Фуллера (Augmented DF, ADF).

Необходимость включения лагов первых разностей связана с тем, что процесс может быть авторегрессией не первого, а более высокого порядка. Рассмотрим на примере модели AR(2):

$y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\varepsilon _{t}.$

Данную модель можно представить в виде:

$\triangle y_{t}=(a_{1}+a_{2}-1)y_{t-1}-a_{2}\triangle y_{t-1}+\varepsilon _{t}.$

Если временной ряд имеет один единичный корень, то первые разности по определению стационарны. А поскольку $y_{t-1}$ по предположению нестационарен, то если коэффициент при нём не равен нулю, уравнение противоречиво. Таким образом, из предположения об интегрированности первого порядка для такого ряда следует, что $a_{1}+a_{2}-1=0$. Таким образом, для проверки наличия единичных корней в данной модели следует провести стандартный DF-тест для коэффициента при $y_{t-1}$, причем в тестовую регрессию должен быть добавлен лаг первой разности зависимой переменной.

Кроме указанной причины также существует и другая — ошибки модели могут не быть белым шумом, а быть некоторым стационарным ARMA-процессом, поэтому следует проверить наличие единичного корня для нескольких лагов. Следует, однако учесть, что увеличение числа лагов приводит к снижению мощности теста. Обычно ограничиваются тремя-четырьмя лагами.

Замечание

Тест Дики — Фуллера, как и многие другие тесты, проверяют наличие лишь одного единичного корня. Однако, процесс может иметь теоретически несколько единичных корней. В этом случае тест может быть некорректным. Поскольку обычно предполагается, что больше трёх единичных корней вряд ли могут встречаться в реальных экономических временных рядах, то теоретически обоснованным является тестирование в первую очередь вторых разностей ряда. Если гипотеза единичного корня для этого ряда отвергается, то тогда тестируется единичный корень в первых разностях. Если на этом этапе гипотеза не отвергается, то исходный ряд имеет два единичных корня. Если отвергается, то проверяется единичный корень в самом временном ряде, как описано выше. На практике часто все делают в обратной последовательности, что не совсем корректно. Для корректных выводов необходимы результаты тестов для вторых и первых разностей наряду с самим временным рядом.

См. также

• Тест Филипса — Перрона
• Тест Лейбурна

Литература

• Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0..