Конечные разности

Конечная разность — математический термин, широко применяющийся в методах вычисления при интерполировании и численном дифференцировании.

ОпределениеПравить

 
Три типа конечных разностей.

Пусть для некоторой точки   задано   узлов интерполяции   с шагом   и известны значения функции   в этих узлах:

 

Тогда восходящей конечной разностью (или разностью вперёд) 1-го порядка называют разность между  -м и  -м значениями   в узлах интерполяции, то есть

 

Нисходящей конечной разностью (или разностью назад) 1-го порядка называют разность между  -м и  -м значениями   в узлах интерполяции, то есть

 

Центральной (или симметричной) конечной разностью 1-го порядка называют разность между  -м и  -м значениями   в узлах интерполяции, то есть

 

Разности высших порядковПравить

Восходящей конечной разностью 2-го порядка называют разность между  -ой и  -ой конечными разностями 1-го порядка, то есть

 

Соответственно, восходящей конечной разностью порядка   (для  ) называют разность между  -ой и  -ой конечными разностями порядка  , то есть

 

Аналогично определяются нисходящие и центральные разности высших порядков:

 
 

Через операторыПравить

Если ввести оператор смещения   такой, что  , то можно определить оператор восходящей конечной разности   как  . Для него справедливо соотношение

 ,

которое можно раскладывать по биному Ньютона. Данный способ представления   заметно упрощает работу с конечными разностями высших порядков.

Общие формулыПравить

Часто также используется другое обозначение:   — восходящая конечная разность порядка   от функции   c шагом  , взятая в точке  . Например,  . Аналогично, для нисходящих разностей можно использовать обозначение  , а для центральных —  .

В этих обозначениях можно записать общие формулы для всех видов конечных разностей произвольного порядка с использованием биномиальных коэффициентов:

 
 
 

Общая формула для   используется при построении интерполяционного многочлена Ньютона.

ПримерПравить

 
Пример вычисления конечных разностей

На приведённом изображении рассмотрен пример вычисления конечных разностей для

 

В зелёных клетках расположены значения  , в каждой последующей строке приводятся конечные разности соответствующего порядка.

Связь с производнымиПравить

Производная функции   в точке   определяется с помощью предела:

 

Под знаком предела стоит восходящая конечная разность  , делённая на шаг. Следовательно, эта дробь аппроксимирует производную при малых значениях шага. Погрешность приближения может быть получена с использованием формулы Тейлора:

 

Аналогичное соотношение выполняется для нисходящей разности:

 

Центральная разность даёт более точное приближение:

 

Конечные разности порядка  , делённые на шаг, возведённый в степень  , аппроксимируют производную порядка  . Порядок погрешности приближения при этом не меняется:

 

Связанные понятияПравить

Видно, что конечная разность при фиксированном шаге есть линейный оператор, отображающий пространство непрерывных функций в себя. Обобщением понятия конечной разности является понятие разностного оператора.

С конечными разностями также связаны понятия разделённых разностей и модуля непрерывности.

ЛитератураПравить

См. такжеПравить