Интерполяция

У этого термина существуют и другие значения, см. Интерполяция.
О функции, см.: Интерполянт.

Интерполя́ция, интерполи́рование (от лат. inter–polis — «разглаженный, подновлённый, обновлённый; преобразованный») — в вычислительной математике нахождение неизвестных промежуточных значений некоторой функции, по имеющемуся дискретному набору её известных значений, определенным способом. Термин «интерполяция» впервые употребил Джон Валлис в своём трактате «Арифметика бесконечных» (1656).

В функциональном анализе интерполяция линейных операторов представляет собой раздел, рассматривающий банаховы пространства как элементы некоторой категории[1].

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

Следует также упомянуть и совершенно другую разновидность математической интерполяции, известную под названием «интерполяция операторов». К классическим работам по интерполяции операторов относятся теорема Рисса — Торина и теорема Марцинкевича[en], являющиеся основой для множества других работ.

ОпределенияПравить

Рассмотрим систему несовпадающих точек   ( ) из некоторой области  . Пусть значения функции   известны только в этих точках:

 

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции   из заданного класса функций, что

 
  • Точки   называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.
  • Пары   называют точками данных или базовыми точками.
  • Разность между «соседними» значениями   — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным, так и постоянным.
  • Функцию   — интерполирующей функцией или интерполянтом.

ПримерПравить

1. Пусть мы имеем табличную функцию, наподобие описанной ниже, которая для нескольких значений   определяет соответствующие значения  :

   
0 0
1 0,8415
2 0,9093
3 0,1411
4 −0,7568
5 −0,9589
6 −0,2794

Интерполяция помогает нам узнать, какое значение может иметь такая функция в точке, отличной от указанных точек (например, при x = 2,5).

К настоящему времени существует множество различных способов интерполяции. Выбор наиболее подходящего алгоритма зависит от ответов на вопросы: как точен выбираемый метод, каковы затраты на его использование, насколько гладкой является интерполяционная функция, какого количества точек данных она требует и т. п.

2. Найти промежуточное значение (способом линейной интерполяции).

6000 15.5
6378 ?
8000 19.2

 

Способы интерполяцииПравить

Интерполяция методом ближайшего соседаПравить

Простейшим способом интерполяции является интерполяция методом ближайшего соседа.

Интерполяция многочленамиПравить

На практике чаще всего применяют интерполяцию многочленами. Это связано прежде всего с тем, что многочлены легко вычислять, легко аналитически находить их производные и множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций (теорема Вейерштрасса).

Обратное интерполирование (вычисление x при заданной y)Править

Интерполяция функции нескольких переменныхПравить

Другие способы интерполяцииПравить

Смежные концепцииПравить

  • Экстраполяция — методы нахождения точек за пределами заданного интервала (продление кривой)
  • Аппроксимация — методы построения приближённых кривых

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Берг, 1980, с. 6—7.

ЛитератураПравить

  • Й. Берг, Й. Лёфстрём. Интерполяционные пространства. Введение. — М.: Мир, 1980. — 264 с.
  • Ибрагимов И. И. Методы интерполяций функций и некоторые их применения. — М.: Высшая школа, 1971. — 520 c.
  • Уолш Дж. Л.[en] Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области. — М.: Иностранная литература, 1961. — 508 c.
  • Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. — М.: Мир, 1980. — 664 c.