Открыть главное меню

Бикубическая интерполяция

Результат бикубической интерполяции функции заданной в ячейке 4х4 . Данную ячейку можно рассматривать как квадрат, состоящий из 9 единичных квадратов. Черными точками обозначены известные значения функции до интерполяции. Условным цветом обозначены интерполированные значения в каждой точке полученной функции.
Сравнение разных методов одномерной и двумерной интерполяций

Бикуби́ческая интерполя́ция — в вычислительной математике расширение кубической интерполяции на случай функции двух переменных, значения которой заданы на двумерной регулярной сетке. Поверхность, полученная в результате бикубической интерполяции является гладкой функцией на границах соседних квадратов, в отличие от поверхностей, полученных в результате билинейной интерполяции или интерполяции методом ближайшего соседа.

Бикубическая интерполяция часто используется в обработке изображений, давая более качественное изображение по сравнению с билинейной интерполяцией. Также бикубическая интерполяция применяется в алгоритмах управления станков с ЧПУ для учета неровностей плоскостей, например, при фрезеровке печатных плат.

Содержание

Принцип методаПравить

В случае бикубической интерполяции значение функции в искомой точке вычисляется через её значения в 16 соседних точках, расположенных в вершинах квадратов плоскости  .

При использовании приведённых ниже формул для программной реализации бикубической интерполяции следует помнить, что значения   и   являются относительными, а не абсолютными. Например, для точки с координатами    . Для получения относительных значений координат необходимо округлить вещественные координаты вниз, и вычесть полученные числа из вещественных координат.

 

 ,

где

 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,

Подобным образом можно использовать и интерполяции более высокого порядка, вычисляя значения функции по соседним   точкам.

 
Результат билинейной интерполяции на тех же входных данных. Частные производные не являются непрерывными и терпят разрыв на границах квадратов 4х4.
 
Результат интерполяции методом ближайшего соседа на тех же входных данных.

Бикубическая интерполяция сплайнамиПравить

Допустим, что необходимо интерполировать значение функции   в точке  , лежащей внутри квадрата  , и известно значение функции   в шестнадцати соседних точках  .

Тогда общий вид функции, задающей интерполированную поверхность, может быть записан следующим образом:  

Для нахождения коэффициентов   необходимо подставить в выше приведённое уравнение значения функции в известных шестнадцати точках. Например:

 .

Полностью в матричном виде:

 ,

где

 ,

 ,

 .

Решая получившуюся систему линейных алгебраических уравнений, можно найти значения   в явном виде:

 .

Единожды найденные коэффициенты   теперь могут быть использованы для многократного вычисления интерполированного значения функции в произвольных точках квадрата  .

Следует отметить, что такой способ обеспечивает непрерывность самой функции и её второй производной на границах смежных квадратов, но приводит к разрыву первых производных на границах ячеек 4х4. Для обеспечения непрерывности самой функции и её первой производной необходимо подставлять в исходное выражение значения функции и значения первых производных по направлениям x и y в вершинах центральной ячейки, производные рассчитываются через центральные разности. Для подстановки производных выражение должно быть продифферинцировано соответствующим образом.

Последовательная кубическая интерполяцияПравить

Другая интерпретация метода заключается в том, что для нахождения интерполированного значения можно сначала произвести кубическую интерполяцию в одном направлении, а затем в другом.

Для функции   с известными значениями  ,  ,  ,   можно построить кубический сплайн:  , или в матричном виде:

 ,

где

 ,

 .

Таким образом, для нахождения интерполированного значения   в квадрате   можно сначала рассчитать четыре значения  ,  ,  ,   для зафиксированного  , затем через полученные четыре точки построить кубический сплайн, и этим завершить вычисление  :

 

 

Следует отметить, что такой подход обеспечивает непрерывность самой функции и её вторых производных на границе ячеек, но не обеспечивает непрерывности первой производной. Для обеспечения непрерывности первой производной необходимо подставлять значения функции и её первых производных на границе центральной ячейки. Тогда коэффициенты сплайна будут иметь вид:

 ,

 .

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • R. Keys (1981). “Cubic convolution interpolation for digital image processing”. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 29 (6): 1153—1160. DOI:10.1109/TASSP.1981.1163711.