Топологическое тело — тело, наделённое топологией, согласованной с основными операциями, то есть топологическое кольцо с единицей, в котором на всех ненулевых элементах определена непрерывная операция взятия обратного элемента.

Основной результат о топологических телах получен Львом Понтрягиным в 1931 году: всякое локально компактное связное топологическое тело является либо полем вещественных чисел, либо полем комплексных чисел, либо телом кватернионов[1]. Колмогоров использовал этот результат при прямом построении действительной и комплексной проективной геометрии[2][3].

Теорема Ковальского: локально компактное несвязное тело всюду разрывно, то есть не содержит связных подмножеств, и могут иметься два взаимно исключающих случая:

  • тело имеет характеристику нуль, и тогда в нём содержится поле -адических чисел;
  • тело имеет характеристику и тогда в нём содержится поле рядов относительно некоторого .

В обоих случаях элементы поля перестановочны по умножению с элементами тела и имеется конечный линейный базис тела над полем . Именно, такая система элементов что каждый элемент записывается в виде ()[4].

Примечания править

  1. Понтрягин, 2018, с. 186.
  2. А. Н. Ширяев, «Андрей Николаевич Колмогоров (25.IV.1903-20.X.1987): In Memoriam», Теория вероятн. и её примен., 34:1 (1989), 5-118; Theory Probab. Appl., 34:1 (1989), 1-99
  3. Zur Begrundung der projektiven Geometrie.— Ann. Math., 1932, v. 33, p. 175—176.
  4. Понтрягин, 2018, с. 218—219.

Литература править

  • Скорняков Л. А., Шестаков И. П. . Глава III. Кольца и модули // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 291—572. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.
  • Л.С. Понтрягин. Обобщения чисел. — М.: Едиториал УРСС, 2018. — 224 с. — ISBN 978-5-354-01596-2.