Точка Понселе

Точка Понселе — предмет следующей теоремы[1]:

Poncelet point.svg

Для любой четверки точек , отличной от ортоцентрической, окружности девяти точек треугольников , , , пересекаются в одной точке, которую и называют точкой Понселе.

ЗамечаниеПравить

  • В теореме Понселе выше речь идет о системе 4 точек, не являющихся так называемой ортоцентрической системой 4 точек.
  • Если в четвёрке точек , , , точка является точкой пересечения высот треугольника , то и любая из четырёх точек является ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными точками. Такую четвёрку иногда называют ортоцентрической системой точек. Другие свойства ортоцентрической системы точек см. в статье ортоцентр.
  • В определении выше для точки Понселе можно отказаться от упоминания ортоцентрической системы точек, если, например, заменить его системой 4 точек, образующих вершины выпуклого невырожденного четырехугольника, которые автоматически никогда не образуют ортоцентрическую систему точек.
  • Кстати, если в определении выше для точки Понселе система 4 точек все-таки окажется ортоцентрической, то точка Понселе станет просто окружностью Эйлера (бесконечным множеством точек), общей для ортоцентрической системы точек.

Свойства точки ПонселеПравить

Если   — ортоцентр треугольника  , то точки Понселе для четвёрок точек  ,  ,  ,   совпадают.

Точка Понселе четвёрки точек   лежит на педальной окружности точки   относительно треугольника  , то есть на описанной окружности подерного треугольника точки   относительно треугольника  .

Точка Понселе четвёрки точек   является центром равнобокой гиперболы, проходящей через точки  ,  ,  ,  .

Точка Понселе четвёрки точек   лежит на чевианной окружности точки   относительно треугольника  , то есть на окружности, содержащей основания чевиан треугольника  , проходящих через точку  .

Точка Понселе четвёрки   является серединой отрезка, соединяющего точки   и  , где  - образ точки   при антигональном сопряжении относительно треугольника  

Точки Понселе четвёрок   и   совпадают.

ЗамечаниеПравить

ЛитератураПравить

См. такжеПравить

ПримечанияПравить