Трансцендентное уравнение

Трансцендентное уравнение — уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, например:

• $x=e^{-x}$
• $\cos x=x$
• $\lg x=x-5$
• $2^{x}=\lg x+x^{5}+40$

Более строгое определение таково:

Трансцендентное уравнение — это уравнение вида $f(x)=g(x)$, где функции $f$ и $g$ являются аналитическими функциями, и по крайней мере одна из них не является алгебраической.

Примеры с приближенными ответами

• $x-\cos {x}=0\Longleftrightarrow x=\cos {\cos {...\cos {x}}}$, ответ $x=0,739085...$ — число Дотти.
• $i^{x}-x=0$, ответ $x=i^{i^{i^{...}}}=0,438283...+i0,360592...$.
• $i^{-x}-x=0$, ответ $x=-i^{-i^{-i^{...}}}=0,438283...-i0,360592...$
• $x-\ln {x}=0$, ответ $x=\ln {\ln {...\ln {x}}}=0,318132...\pm i1,33724...$.
• $x-\lg {x}=0$, ответ $x=\lg {\lg {...\lg {x}}}=-0,119193...\pm i0,750583...$.

Другие решения

Трудности, возникающие при решении трансцендентных систем уравнений высокого порядка, были преодолены В. А. Варюхиным с помощью «сепарации» неизвестных, при которой определение неизвестных сводится к решению алгебраических уравнений.

См. также

• Алгебраическая функция
• Алгебраическое уравнение
• Трансцендентная функция
• Алгебраическое число
• Трансцендентное число
• Показательное уравнение