Тройное произведение Якоби

Тройное произведение Якоби — это математическое тождество:

$\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2m-1}}{y^{2}}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n},$

для комплексных чисел x и y с $|x|<1$ и $y\neq 0$.

Тождество предложил Карл Густав Якоб Якоби в труде Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum (Новые принципы в теории эллиптических функций).

Тождество тройного произведения Якоби является тождеством Макдональда для аффинных корней системы типа A₁ и является формулой Вейля для знаменателей для соответствующей аффинной алгебры Каца-Муди.

Свойства

Доказательство Якоби основывается на теореме о пятиугольных числах Эйлера, которая сама является частым случаем тождества тройного произведения Якоби.

Пусть $x=q{\sqrt {q}}$ и $y^{2}=-{\sqrt {q}}$. Тогда имеем

$\phi (q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{m}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.$

Тройное произведение Якоби позволяет также переписать тета-функцию Якоби как бесконечное произведение:

Пусть $x=e^{i\pi \tau }$ и $y=e^{i\pi z}.$

Тогда тэта-функцию Якоби

$\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {\rm {i}}n^{2}\tau +2\pi {\rm {i}}nz}$

можно переписать в виде

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }y^{2n}x^{n^{2}}.$

Используя тождество тройного произведения Якоби, мы можем записать тэта-функцию как произведение

$\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2m\pi {\rm {i}}\tau }\right)\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau +2\pi {\rm {i}}z}\right]\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau -2\pi {\rm {i}}z}\right].$

Существует много различных обозначений, используемых для выражения тройного произведения Якоби. Оно принимает краткую форму, если его выразить в терминах q-символов Похгаммера:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{\frac {n(n+1)}{2}}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;\left(-{\tfrac {1}{z}};q\right)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty },$

где $(a;q)_{\infty }$ — бесконечный q-символ Похгаммера.

Формула принимает особенно элегантный вид, когда выражается в терминах тета-функции Рамануджана. Для $|ab|<1$ её можно переписать как

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}\;b^{\frac {n(n-1)}{2}}=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.$

Доказательство

Для аналитического случая см. книгу Апостола, первое издание которой было опубликовано в 1976. См. также ссылку ниже для доказательства, стимулированного физиками.

Ссылки

• Краткое комбинаторное доказательство тождества, стимулированное физиками.