q-символ Похгаммера
Q-символ Похгаммера, который называется также сдвинутым q-факториалом[1][2], это q-аналог символа Похгаммера и определяется он как
- ,
при этом
по определению. Q-символ Похгаммера является главным строительным блоком в строительстве q-аналогов. Например, в теории базисных гипергеометрических рядов[англ.] q-символ Похгаммера играет роль, какую играет обычный символ Похгаммера в теории обобщённых гипергеометрических рядов[англ.].
В отличие от обычного символа Похгаммера, q-символ Похгаммера может быть расширен до бесконечного произведения:
Это аналитическая функция от q внутри единичного круга и может восприниматься как формальный степенной ряд от q. Специальный случай
известен как функция Эйлера[англ.] и играет важную роль в комбинаторике, теории чисел и теории модулярных форм.
Тождества
правитьКонечное произведение можно выразить через бесконечное:
что расширяет определение для отрицательных целых n. Таким образом, для неотрицательного n имеем
и
Q-символ Похгаммера участвует во многих тождествах с q-рядами, в частности в бесконечном расширении рядов
и
- ,
которые являются частными случаями q-биномиальной теоремы:
Фридрих Карпелевич нашёл следующее тождество (см. статью Ольшанецкого и Рогова[3] для доказательства):
Комбинаторная интерпретация
правитьQ-символ Похгаммера тесно связан с перечислительной комбинаторикой разбиений. Коэффициент при в
равен числу разбиений m на не более чем n частей.
Поскольку это то же самое, что разбиение m на части, каждая из которых не превосходит n, получаем следующее тождество:
- ,
как в разделе выше.
Коэффициент при в
равен числу разбиений числа m на n или n-1 различных частей.
Если удалить треугольное разбиение с n − 1 частями из такого разбиения, мы останемся с некоторым разбиением на не более чем n частей. Это даёт сохраняющее веса биекцию между множеством разбиений на n или n − 1 различных частей и множество пар, состоящих из треугольного разбиения, содержащего n − 1 частей, и разбиения на не более чем n частей. Это приводит к тождеству:
также описанному выше. Обратная (в смысле 1/f) функция для возникает аналогичным образом как производящая функция для функции разбиения числа, , которая также разлагается в следующие два q-ряда[4]:
Q-биномиальная теорема сама может быть доказана с помощью слегка большего использования похожих комбинаторных аргументов.
Соглашение о множественных аргументах
правитьПоскольку тождества, использующие q-символы Похгаммера, часто используют произведение многих символов, принято соглашение записывать произведение в виде одного символа с несколькими аргументами:
Q-ряды
правитьQ-ряд является рядом, в котором коэффициенты являются функциями от q, обычно в виде выражений с [4]. Ранние результаты принадлежат Эйлеру, Гауссу и Коши. Систематичное изучение начал Эдуард Гейне (1843)[5].
Связь с другими q-функциями
правитьПринимая во внимание, что
мы определяем q-аналог числа n, известный также как q-скобка или q-число числа n, равным
Отсюда мы можем определить q-аналог факториала, q-факториал
Снова можно обнаружить, что обычный факториал равен пределу при q, стремящемся к 1. Это можно интерпретировать как число флагов в n-мерном векторном пространстве над полем с q элементами, а переход q в пределе к 1 даёт интерпретацию упорядочения как флага в векторном пространстве над полем с одним элементом[англ.].
Произведение отрицательных целых q-скобок можно выразить в терминах q-факториала следующим образом:
От q-факториалов можно перейти к определению q-биномиальных коэффициентов, известных также как гауссовы коэффициенты, гауссовы многочлены или гауссовы биномиальные коэффициенты, следующим образом
откуда легко видеть, что треугольник этих коэффициентов симметричен в том смысле, что для всех .
Можно показать, что
Можно заметить из предыдущих рекурсивных отношений, что следующие варианты -биномиальной теоремы являются расширениями в терминах этих коэффициентов[6]:
Можно получить q-аналог гамма-функции, называемый q-гамма-функцией[англ.] и определённый как
Функция сходится к обычной гамма-функции при q, стремящемся к 1 изнутри диска. Заметим, что
для любого x и
для неотрицательных целочисленных значений n. Альтернативно, функцию можно взять как расширение q-факториала в системе вещественных чисел.
См. также
править- Базисные гипергеометрические ряды[англ.]
- Эллиптическая гамма-функция[англ.]
- Тета-функция Якоби
- Символ Похгаммера
- q-производная
- q-тэта-функция[англ.]
- Теорема о пятиугольных числах[англ.]
- Тождества Роджерса — Рамануджана[англ.]
- Непрерывная дробь Роджерса — Рамануджана[англ.]
- q-тождество Вандермонда[англ.]
Примечания
править- ↑ Koekoek, Swarttouw, 1998, с. 7.
- ↑ Бахтин, 2017, с. 6-7.
- ↑ Ольшанецкий, Рогов, 1996.
- ↑ 1 2 Berndt, 2010.
- ↑ Heine, 1847.
- ↑ Olver и др., 2010, с. 421.
Литература
править- Koekoek R., Swarttouw R. F. The Askey-Scheme of Hypergeometric Orthogonal Polynomials and its -Analogue // Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17. — Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, 1998. — С. 7.
- Бахтин А.Б. Вычисление обобщённого дискриминанта вещественного многочлена. — Москва, 2017. — С. 6-7. — (препринты ИПМ им. М.В.Келдыша).
- George Gasper, Mizan Rahman. Basic Hypergeometric Series // Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. — 2nd. — Cambridge: Cambridge University Press, 2004. — Т. 96. — ISBN 0-521-83357-4.
- Roelof Koekoek, Rene F. Swarttouw. The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues.
- Exton H. q-Hypergeometric Functions and Applications. — New York, Chichester: Halstead Press, Ellis Horwood, 1983. — ISBN 0853124914.
- Ольшанецкий М.А., Рогов В.-Б.К. Модифицированные q-функции Бесселя и q-функции Макдональда // Матем. сб.. — 1996. — Т. 187, № 10. — С. 109-128.
- NIST Handbook of Mathematical Functions / Frank W. J. Olver, Daniel W. Lozier, Ronald F. Boisvert, Charles W. Clark. — Section 17.2: NIST, Cambridge University Press, 2010. — С. 421. — ISBN 978-0-521-19225-5.
- Berndt B. C. Proceedings of a Conference on Elliptic Functions, Partitions, and q-Series in memory of K. Venkatachaliengar: Bangalore, 1–5 June 2009 / N. D. Baruah, B. C. Berndt, S. Cooper, T. Huber, and M. J. Schlosser, eds.. — Mysore: Ramanujan Mathematical Society, 2010. — С. 31-51.
- Heine E. Untersuchungen über die Reihe // J. Reine Angew. Math.. — 1847. — Т. 34. — С. 285-328.
Ссылки
править- Weisstein, Eric W. q-Analog (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. q-Bracket (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. q-Factorial (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. q-Series (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. q-Binomial Coefficient (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Для улучшения этой статьи желательно:
|