Туннелирование через прямоугольный барьер

Туннели́рование че́рез прямоуго́льный барье́р — квантовомеханический туннельный эффект в ситуации, когда потенциальный барьер для частицы имеет прямоугольную форму, а именно const в области туннелирования .

Обычно подразумевается, что по обе стороны барьера , что полная энергия частицы связана только с движением в направлении (нет движения в перпендикулярной плоскости ) и что масса частицы неизменна.

Типичные значения параметров: — порядка электронвольта, — несколько нанометров, а туннелирующими частицами являются элементарные частицы (электроны и др.).

При анализе туннелирования ставится задача расчёта вероятности прохождения барьера при однократном соударении частицы с ним. Прямоугольный барьер возникает как простейшее приближение для реальных барьеров, позволяющее получить несложное аналитическое решение.

РешениеПравить

 
Потенциальная энергия как функция координаты описывается функцией:
 
 
Прохождение волн де Бройля через прямоугольный потенциальный барьер высотой   и шириной   частицы с энергией  

Частица, описываемая плоской волной, падает на границу барьера справа и частично отражается с амплитудой   Часть волны проходит через барьер с амплитудой вероятности   Выражения для волновой функции частицы в трёх областях в одномерном случае:

 
 
 

Здесь предполагается, что волновые вектора:

 
 

Так как сами волновые функции на границах барьера и их первые производные не должны иметь разрывов, исходя из этого условия производится сшивка волновых функций и их производных на границах и получаются четыре уравнения с четырьмя неизвестными:

 
 
 
 

Их решения:

 
 
 
 
 
 

откуда следует выражение для коэффициента прохождения:

 

Примечание. В данном контексте можно рассмотреть ситуацию дельтообразного потенциала, описываемого дельта-функцией Дирака,   Это предельный случай прямоугольного барьера, стремящегося к бесконечно высокому и одновременно бесконечно узкому потенциалу (причём так, что произведение   где   — некая константа). Тогда получается  

 
Коэффициент прохождения для прямоугольного туннельного барьера.  

Если энергия частицы выше барьера, то:

 

и получим другой результат:

 

При   коэффициент квантового прохождения в общем случае отличен от единицы, в отличие от классического случая. В этой области энергий имеют место немонотонности  

ЛитератураПравить

  • Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) (англ.). — Prentice Hall, 2004.