Туннелирование через прямоугольный барьер

Туннели́рование че́рез прямоуго́льный барье́р — квантовомеханический туннельный эффект в ситуации, когда потенциальный барьер $U(x)$ для частицы имеет прямоугольную форму, а именно $U(x)=V=\,$ const в области туннелирования $0<x<a$.

Обычно подразумевается, что по обе стороны барьера $U=0$, что полная энергия частицы $E$ связана только с движением в направлении $x$ (нет движения в перпендикулярной плоскости $yz$) и что масса частицы $m$ неизменна.

Типичные значения параметров: $V$ — порядка электронвольта, $a$ — несколько нанометров, а туннелирующими частицами являются элементарные частицы (электроны и др.).

При анализе туннелирования ставится задача расчёта вероятности прохождения барьера $T(E)$ при однократном соударении частицы с ним. Прямоугольный барьер возникает как простейшее приближение для реальных барьеров, позволяющее получить несложное аналитическое решение.

Решение

Потенциальная энергия как функция координаты описывается функцией:
$U(x)={\begin{cases}0&{\text{если}}~x<0\\V&{\text{если}}~0<x<a\\0&{\text{если}}~a<x\end{cases}}$

Прохождение волн де Бройля через прямоугольный потенциальный барьер высотой $V_{0}$ и шириной $a$ частицы с энергией $E>V_{0}.$

Частица, описываемая плоской волной, падает на границу барьера справа и частично отражается с амплитудой $r.$ Часть волны проходит через барьер с амплитудой вероятности $t.$ Выражения для волновой функции частицы в трёх областях в одномерном случае:

$\psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,(x<0);$

$\psi _{2}(x)=Ae^{k_{2}x}+Be^{-k_{2}x}\,(0<x<a);$

$\psi _{3}(x)=te^{ik_{1}x}\,(a<x).$

Здесь предполагается, что волновые вектора:

$k_{1}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}},$

$k_{2}={\sqrt {\frac {2m(V-E)}{\hbar ^{2}}}}.$

Так как сами волновые функции на границах барьера и их первые производные не должны иметь разрывов, исходя из этого условия производится сшивка волновых функций и их производных на границах и получаются четыре уравнения с четырьмя неизвестными:

$1+r=A+B$

$ik_{1}-irk_{1}=k_{2}A-k_{2}B$

$Ae^{k_{2}a}+Be^{-k_{2}a}=te^{ik_{1}a}$

$k_{2}Ae^{k_{2}a}-k_{2}Be^{-k_{2}a}=ik_{1}te^{ik_{1}a}.$

Их решения:

$A\left(1-i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)+B\left(1+i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)=2$

$A={\frac {t}{2}}e^{-k_{2}a}e^{ik_{1}a}\left(1+i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)$

$B={\frac {t}{2}}e^{k_{2}a}e^{ik_{1}a}\left(1-i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)$

$te^{-k_{2}a}\left(1+i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)\left(1-i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)+te^{k_{2}a}\left(1-i{\frac {k_{1}}{k_{2}}}\right)\left(1+i{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)=4e^{-ik_{1}a}$

$t={\frac {4e^{-ik_{1}a}}{e^{-k_{2}a}\left(2+i\left({\frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\right)+e^{k_{2}a}\left(2-i\left({\frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\right)}}$

$t={\frac {4e^{-ik_{1}a}}{4\cosh {k_{2}a}-2i\left({\frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)\sinh {k_{2}a}}},$

откуда следует выражение для коэффициента прохождения:

$T=|t|^{2}=t\cdot t^{\ast }={\frac {1}{\cosh ^{2}{k_{2}a}+{\frac {1}{4}}\left({\frac {k_{1}}{k_{2}}}-{\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)^{2}\sinh ^{2}{k_{2}a}}}={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}+k_{2}^{2})^{2}}{4k_{1}^{2}k_{2}^{2}}}\sinh ^{2}{k_{2}a}}}.$

Примечание. В данном контексте можно рассмотреть ситуацию дельтообразного потенциала, описываемого дельта-функцией Дирака, $U(x)=g\delta (x).$ Это предельный случай прямоугольного барьера, стремящегося к бесконечно высокому и одновременно бесконечно узкому потенциалу (причём так, что произведение $Va=g,$ где $g$ — некая константа). Тогда получается $T=(1+g^{2}{\frac {m}{2\hbar ^{2}E}})^{-1}.$

Коэффициент прохождения для прямоугольного туннельного барьера. $V=V_{0}.$

Если энергия частицы выше барьера, то:

$k_{2}={\sqrt {\frac {2m(E-V)}{\hbar ^{2}}}},$

и получим другой результат:

$T={\frac {1}{1+{\frac {(k_{1}^{2}-k_{2}^{2})^{2}}{4k_{1}^{2}k_{2}^{2}}}\sin ^{2}{k_{2}a}}}.$

При $E>V$ коэффициент квантового прохождения в общем случае отличен от единицы, в отличие от классического случая. В этой области энергий имеют место немонотонности $T(E).$

Литература

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.) (англ.). — Prentice Hall, 2004.