Условие Слейтера

Условие Слейтера — это достаточное условие для строгой двойственности[en] в задаче выпуклой оптимизации[en]*. Условие названо именем Мортона Л. Слейтера[1]. Неформально условие Слейтера утверждает, что допустимая область должна иметь внутреннюю точку (см. подробности ниже).

Условие Слейтера является примером условий регулярности[2]. В частности, если условие Слейтера выполняется для прямой задачи, то разрыв двойственности равен 0 и, если значение двойственной задачи конечно, оно достигается[3].

ФормулировкаПравить

Рассмотрим задачу оптимизации

Минимизировать  
При ограничениях
 
 ,

где   являются выпуклыми функциями. Это экземпляр задачи выпуклого программирования.

Другими словами, условие Слейтера для выпуклого программирования утверждает, что сильная двойственность выполняется, если существует точка  , такая, что   лежит строго внутри области допустимых решений (то есть все ограничения выполняются, а нелинейные ограничения выполняются как строгие неравенства).

Математически условие Слейтера утверждает, что сильная двойственность выполняется, если существует точка   (где relint обозначает относительную внутренность выпуклого множества  ), такая, что

  (выпуклые нелинейные ограничения)
 [4].

Обобщённые неравенстваПравить

Пусть дана задача

Минимизировать  
При ограничениях
 
 ,

где функция   выпукла, а    -выпукла для любого  . Тогда условие Слейтера гласит, что в случае, когда существует  , такое, что

  и
 

то имеет место строгая двойственность[4].

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить