Форма Киллинга

Форма Киллинга — симметричная билинейная форма на алгебре Ли определённого типа.

ИсторияПравить

Форма Киллинга была введена  Картаном в его диссертации. Название «форма Киллинга» впервые ввёл Борель в 1951 году в честь Вильгельма Киллинга. В 2001 году он заявил, что не помнит, почему он выбрал именно это название и утверждает, что было бы более правильным называть её «формой Картана»[1].

ОпределениеПравить

Рассмотрим алгебру Ли   над полем  . Каждый элемент   из   определяет эндоморфизм  

 

где   — скобка Ли. Предположим, что   имеет конечную размерность. Тогда след композиции таких эндоморфизмов определяет симметричную билинейную форму

 

со значениями в  . Эта форма   и называется формой Киллинга на  [2].

СвойстваПравить

  • Форма Киллинга является билинейной и симметричной.
  • Форма Киллинга является инвариантной формой, то есть
     
где   — скобка Ли.
  • Если   является простой алгеброй Ли, то любая инвариантная симметричная билинейная форма на   пропорциональна форме Киллинга.
  • Форма Киллинга также инвариантна относительно автоморфизмов алгебры Ли, то есть
     
где  .
  • В частности, левоинвариантное поле форм на соответствующей группе Ли, совпадающее с   в единице, является также правоинвариантным, и значит биинвариантным.
  • Критерий Картана гласит, что алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда форма Киллинга является невырожденной.
  • Форма Киллинга нильпотентной алгебры является тождественным нулем.
  • Если   и   — два идеала в алгебре Ли   с нулевым пересечением, тогда   и    образуют ортогональные подпространства по отношению к форме Киллинга.
  • Ортогональное дополнение относительно идеала по отношению к форме Киллинга также является идеалом.
  • Если алгебра Ли является прямой суммой своих идеалов, то её форма Киллинга является прямой суммой форм Киллинга на отдельных слагаемых.[3]

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Borel, Armand. Essays in the history of Lie groups and algebraic groups. — American Mathematical Society and the London Mathematical Society, 2001. — Vol. 21. — (History of Mathematics).
  2. William Fulton, Joe Harris. Representation Theory (англ.) // Graduate Texts in Mathematics. — 2004. — ISSN 2197-5612 0072-5285, 2197-5612. — doi:10.1007/978-1-4612-0979-9.
  3. Intro to Lie groups and Lie algebras. www.math.stonybrook.edu. Дата обращения: 21 июня 2021.