Открыть главное меню

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события определённое количество раз при нескольких независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, который вывел эту формулу.

Содержание

ФормулировкаПравить

Теорема. Если вероятность   наступления события   в каждом испытании постоянна, то вероятность   того, что событие   наступит ровно   раз в   независимых испытаниях, равна  , где  .[1]

ДоказательствоПравить

Пусть проводится   независимых испытаний, причём известно, что в результате каждого испытания событие   наступает с вероятностью   и, следовательно, не наступает с вероятностью  . Пусть также в ходе испытаний вероятности   и   остаются неизменными. Какова вероятность того, что в результате   независимых испытаний событие   наступит ровно   раз?

Оказывается можно точно подсчитать число «удачных» комбинаций исходов испытаний, для которых событие   наступает   раз в   независимых испытаниях, — в точности это количество сочетаний из   по  :

 

В то же время, так как все испытания независимы и их исходы несовместимы (событие   либо наступает, либо нет), то вероятность получения «удачной» комбинации в точности равна  .

Окончательно, для того чтобы найти вероятность того, что в   независимых испытаниях событие   наступит ровно   раз, нужно сложить вероятности получения всех «удачных» комбинаций. Вероятности получения всех «удачных» комбинаций одинаковы и равны  , количество «удачных» комбинаций равно  , поэтому окончательно получаем:

 

Последнее выражение есть не что иное, как Формула Бернулли. Полезно также заметить, что в силу полноты группы событий будет справедливо

 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

СсылкиПравить