Формула Бине — Коши

Формула Бине́ — Коши́ — теорема об определителе произведения двух прямоугольных матриц, при условии, что оно является квадратной матрицей. Доказана в начале XIX века французскими математиками Ж. Бине и О. Коши.

Формулировка

Произведение двух прямоугольных матриц $A$ и $B$ дает квадратную матрицу порядка $m$, если $A$ имеет $n$ столбцов и $m$ строк, а матрица $B$ имеет $m$ столбцов и $n$ строк. Миноры матриц $A$ и $B$ одинакового порядка, равного наименьшему из чисел $n$ и $m$, называются соответствующими друг другу, если они стоят в столбцах (матрицы $A$) и строках (матрицы $B$) с одинаковыми номерами.

Определитель матрицы $AB$ равен нулю, если $n<m$, и равен сумме попарных произведений соответствующих друг другу миноров порядка $m$, если $n\geqslant m$ (сумма берется по всем наборам столбцов матрицы $A$ и строк матрицы $B$ с возрастающими номерами $i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{m}$).

Замечания

• В случае $n<m$ формула $|AB|=0$ очевидна. Действительно, так как столбцы матрицы $AB$ являются линейными комбинациями столбцов матрицы $A$, то в случае, когда число столбцов матрицы $AB$ больше числа столбцов матрицы $A$, матрица $AB$, очевидно, является вырожденной (то есть её определитель равен нулю).
• В случае $n=m$ формула Бине — Коши принимает хорошо известный вид: $|AB|=|A|\,|B|$.
• В случае $n>m$ доказательство формулы Бине — Коши более сложно.

Пример

Пусть

$A=\left({\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{n}\\\end{matrix}}\right),\quad B=\left({\begin{matrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\\\vdots &\vdots \\a_{n}&b_{n}\\\end{matrix}}\right).$

Тогда

$A\,B=\left({\begin{matrix}a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2}&a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}\\a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n}&b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2}\\\end{matrix}}\right),$

и соответствующие миноры имеют вид

$\left|{\begin{matrix}a_{i}&b_{i}\\a_{j}&b_{j}\\\end{matrix}}\right|$

при всех $i<j$, принимающих значения от $1$ до $n$.

Формула Бине — Коши в этом случае дает равенство

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2})-(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n})^{2}=\sum _{i<j}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2},$

из которого (в случае, когда все $a_{i}$ и $b_{i}$ являются вещественными числами) вытекает неравенство Коши — Буняковского:

$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots +b_{n}^{2})\geqslant (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\ldots +a_{n}b_{n})^{2}.$

Литература

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — М.: Наука, 1984.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.

Ссылки

• Доказательство теоремы (Лекция В.П. Григорьева, МЭИ)