Формула Бине (механика)

Формула Бине — дифференциальное уравнение, позволяющее определить центральную силу, если известно уравнение траектории материальной точки, движущейся под её действием, или по заданной центральной силе определить траекторию.

Формулировка

Пусть материальная точка с массой $m$ движется под действием центральной силы ${\vec {F}}$ . Тогда в полярной системе координат $r$ , $\varphi$

{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}\left({\frac {1}{r}}\right)+{\frac {1}{r}}=-{\frac {F_{r}}{mc^{2}}}r^{2}.

Здесь $c$ — так называемая постоянная площадей.

Вывод

Рассмотрим движение материальной точки $m$ под действием центральной силы ${\vec {F}}$ . Уравнение движения точки $m{\vec {w}}={\vec {F}}$ в проекциях на полярные оси $mw_{r}=F_{r}$ , $mw_{\varphi }=F_{\varphi }$ , где $F_{\varphi }=0$ . Радиальное ускорение $w_{r}={\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}$ , трансверсальное ускорение $w_{\varphi }={\ddot {\varphi }}r+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }}$ . Получаем $m({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2})=F_{r}$ , $m({\ddot {\varphi }}r+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }})=0$ . Преобразуем второе уравнение: $({\ddot {\varphi }}r+2{\dot {r}}{\dot {\varphi }})={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dt}}(r^{2}{\dot {\varphi }})=0$ . Следовательно: $r^{2}{\dot {\varphi }}=c$ , где $c$ — константа, называемая постоянной площадей. Подставляя значение ${\dot {\varphi }}$ из $r^{2}{\dot {\varphi }}=c$ в уравнение $m({\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2})=F_{r}$ , получаем $m\left({\ddot {r}}-{\frac {c^{2}}{r^{3}}}\right)=F_{r}$ . Последовательно находим ${\dot {r}}={\frac {dr}{d\varphi }}{\dot {\varphi }}={\frac {c}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\varphi }}=-c{\frac {d}{d\varphi }}\left({\frac {1}{r}}\right)$ , ${\ddot {r}}={\frac {d{\dot {r}}}{dt}}={\frac {d{\dot {r}}}{d\varphi }}{\dot {\varphi }}=-{\frac {c^{2}}{r^{2}}}{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}\left({\frac {1}{r}}\right)$ . Подставляя ${\ddot {r}}$ в $m\left({\ddot {r}}-{\frac {c^{2}}{r^{3}}}\right)=F_{r}$ , находим ${\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}\left({\frac {1}{r}}\right)+{\frac {1}{r}}=-{\frac {F_{r}}{mc^{2}}}r^{2}$ .