Формула Клейна — Нисины

Фо́рмула Кле́йна — Ниси́ны — формула, описывающая древовидную часть полного сечения комптоновского рассеяния света на электроне. Установлена Оскаром Клейном и Ёсио Нисиной в 1928 году.

Распределение Клейна — Ниcины интенсивности рассеяния фотонов в зависимости от угла рассеивания для разных энергий. Видимый свет (2,75 эВ) рассеивается вперед и назад одинаково по всем углам и образует излучение солнечной короны видимое во время полного солнечного затмения. Это рассеяние очень хорошо описывается классической электродинамикой (томсоновское рассеяние).
Рентгеновские лучи (60 кэВ), испускаемые при переходе в электронных оболочках L в K в вольфрамовых мишенях в рентгеновских аппаратах будут более рассеиваться вперед через тело пациента, хотя рассеяние назад также будет происходить.
Фотоны возникающие в результате аннигиляции позитронов (511 кэВ) менее вероятно рассеиваются назад.
Фотоны возникающие при распаде калия-40 (1,460 МэВ), рассеиваются в основном вперед и с малой вероятностью назад.
Гамма-всплески галактических гамма-источников (10 МэВ) рассеиваются почти исключительно вперед.

Рассеяние электромагнитных волн на заряженных частицах, при котором падающая и рассеянная волна имеют разные частоты, называется комптоновским рассеянием. Дифференциальное и полное сечение такого рассеяния рассчитывается в квантовой электродинамике. Оно наблюдается при рассеянии рентгеновских лучей на электронных оболочках атомов и рассеянии гамма-лучей на электронах и атомных ядрах.

Изменение длины волны $\Delta \lambda$ при комптоновском рассеянии определяется формулой:

$\Delta \lambda =2\lambda _{0}\sin ^{2}(\theta /2),$

$\lambda _{0}=h/m_{0}c,$

$\lambda _{0}=2{,}426\cdot 10^{-12}$ м,

где $\lambda _{0}$ — комптоновская длина волны электрона,

$\theta$ — угол между направлением падающей и рассеянной волнами,

$h$ — постоянная Планка,

$m_{0}$ — масса электрона,

$c$ — скорость света.

Частота излучения $\omega ^{\prime }$ после рассеяния определяется формулой Комптона:

$\omega ^{\prime }={\frac {\omega }{1+\varepsilon (1-\cos \theta )}}$,

где $\varepsilon =\hbar \omega /m_{0}c^{2},$ $\hbar =h/2\pi ,$

$\omega$ — частота падающей волны.

Полное сечение комптоновского рассеяния на свободном электроне:

$\sigma _{k}=2\pi r_{0}^{2}\left[{\frac {1+\varepsilon }{\varepsilon ^{2}}}\left({\frac {2+2\varepsilon }{1+2\varepsilon }}-{\frac {\operatorname {ln} (1+2\varepsilon )}{\varepsilon }}\right)+{\frac {\operatorname {ln} (1+2\varepsilon )}{2\varepsilon }}-{\frac {1+3\varepsilon }{(1+2\varepsilon )^{2}}}\right].$

Формула подтверждается экспериментально обнаруженным отклонением рассеяния фотонов на электронах при высоких энергиях от низкоэнергетичного томсоновского рассеяния, описываемого в рамках классической электродинамики (см. рисунок). Если энергия $\hbar \omega$ падающего фотона значительно меньше массы электрона $m_{0}c^{2}$, то есть $\hbar \omega \ll m_{0}c^{2},$ или $\lambda \gg \lambda _{0},$ где $\lambda _{0}$ — комптоновская длина волны электрона, то $\varepsilon \rightarrow 0,$ и формула Клейна — Нисины сводится к классической формуле Томсона (в частности, отношение частот падающей и рассеянной волн $\omega /\omega ^{\prime }=1+\varepsilon (1-\cos \theta )$ при этом теряет угловую зависимость и стремится к единице).

При высоких энергиях, когда $\hbar \omega \gg m_{0}c^{2}$, формула для полного сечения приобретает вид:

$\sigma _{k}={\frac {\pi r_{0}^{2}}{\varepsilon }}\left({\frac {1}{2}}+\operatorname {ln} (2\varepsilon )\right)=\pi r_{0}^{2}{\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar \omega }}\left(\operatorname {ln} \;{\frac {2\hbar \omega }{m_{0}c^{2}}}+{\frac {1}{2}}\right)$.

Интенсивность $I^{\prime }$ рассеянного излучения на расстоянии $R$ от центра рассеяния связана с интенсивностью $I$ падающей волны и отношением частот $\omega ^{\prime }/\omega$ соотношением

$I^{\prime }={\frac {I}{R^{2}}}{\frac {\omega ^{\prime }}{\omega }}{\frac {d\sigma }{d\Omega }},$

где ${\frac {d\sigma }{d\Omega }}$ — дифференциальное сечение рассеяния.

Литература

• Кузьмичев В. Е. Законы и формулы физики. — Киев: Наук. думка, 1989. — 864 с.