Формула Лейбница (производной произведения)

Формула Лейбница для -ой производной произведения двух функций — обобщение правила дифференцирования произведения (и отношения) двух функций на случай -кратного дифференцирования.

Пусть функции и  — раз дифференцируемые функции, тогда

где  — биномиальные коэффициенты.

Примеры

править

При   получается известное правило производной произведения:

 

В случае   имеем:

 

В случае  :

 

В случае  :

 

Доказательство и обобщение

править

Доказательство формулы осуществляется по индукции с использованием правила произведения. В мультииндексной записи формула может быть записана в более общем виде:

 

Эта формула может быть использована для получения выражения для композиции дифференциальных операторов. В самом деле, пусть P и Q — дифференциальные операторы (с коэффициентами, которые дифференцируемы достаточное число раз) и  . Если R также является дифференциальным оператором, то справедливо равенство:

 

Непосредственное вычисление дает:

 

Эта формула также известна как формула Лейбница.

Литература

править
  • Шипачев В. С. Основы высшей математики: Учебное пособие для вузов / Под ред. акад. А. Н. Тихонова. — М.: Высшая школа, 1989. — 479 с. — ISBN 5-06-000048-6.
  • Зорич В. А. Математический анализ. Часть 1. — 2-e. — М.: ФАЗИС, 1997. — 554 с. — ISBN 5-7036-0031-6.