Французская железнодорожная метрика

Французская железнодорожная метрика является необычным примером метрики.

Основные железнодорожные магистрали Франции в 1856 году сходились в Париже

Название этой метрики произошло из-за очень централизованно проложенной (особенно раньше) железнодорожной сети Франции, в которой чуть ли не все пути сходились в Париже.

Последствия этого были таковы, что, например, чтобы добраться по железной дороге из Страсбурга в Лион, нужно сделать крюк в 400 км через Париж — приходилось мириться с тем, что нет прямого сообщения.

Это побудило одного неизвестного математика определить следующую метрику: если $X$ есть некоторое множество точек плоскости (города Франции с железнодорожным сообщением через Париж) и $p$ — фиксированная выбранная точка (Париж), то можно определить на $X$ метрику $\rho \colon X\times X\to \mathbb {R}$ следующим образом:

$\rho (x,y)=\left.{\begin{cases}\|x-y\|,&x-p=\lambda (y-p)\\\|x-p\|+\|y-p\|,&x-p\neq \lambda (y-p)\end{cases}}\right.,\quad x,y\in X,\lambda \in \mathbb {R} .$

Здесь $\rho (x,y)$ следует понимать как расстояние по железнодорожному пути от города $x$ до города $y$.

Эта конструкция допускает элементарное обобщение на любое нормированное пространство.

Свойства

В невырожденном случае, то есть когда существуют неколлинеарные векторы, французская железнодорожная метрика — простейший пример метрики, которая не порождается нормой.

Действительно, предположим противное. Пусть такая норма существует. Возьмём два неколлинеарных вектора $a$ и $b$, для которых $\left|a\right|\leqslant \left|b\right|$. Тогда векторы $a+b$ и $b$ также неколлинеарны, и выполняется

$\rho (p+a,\,p)\leqslant \rho (p,\,p+b)<\rho (p+a+b,\,p+b)$.

Для метрики $d$, порожденной нормой, это неравенство нарушается:

$d(p+a,p)=|p+a-p|=|a|\leq d(p,p+b)=|p-p-b|=|-b|=|b|<d(p+a+b,p+b)=|p+a+b-p-b|=|a|.$

Следовательно, не существует нормы $|\cdot |$, порождающей французскую железнодорожную метрику в том смысле, что $\rho (x,\,y)=|x-y|.$

Названия при p = 0

Для нормы $\|\cdot \|$ на $\mathbb {R} ^{2}$ метрикой французского метро называется метрика на $\mathbb {R} ^{2}$, определённая как:

$\rho (x,y)=\left.{\begin{cases}\|x-y\|,&x=\lambda y\\\|x\|+\|y\|,&x\neq \lambda y\end{cases}}\right.,\quad x,y\in X,\lambda \in \mathbb {R} .$

Иными словами, метрика французского метро определена как длина кратчайшего пути из точки x в точку y, если x, y и начало координат находятся на одной прямой, и длина кратчайшего пути из x в y, проходящего через начало координат, в противном случае.

Метрика французского метро совпадает с французской железнодорожной метрикой в частном случае, когда Париж находится в начале координат (p = 0).

Для евклидовой нормы $\|\cdot \|_{2}$ метрика французского метро называется также парижской метрикой, метрикой ежа, радиальной метрикой или усиленной метрикой SNCF.

Метрика британской железной дороги

Для нормы $\|\cdot \|$ на $\mathbb {R} ^{2}$ (в общем случае на $\mathbb {R} ^{n}$) метрикой британской железной дороги называется метрика на $\mathbb {R} ^{2}$ (на $\mathbb {R} ^{n}$), определённая как

$\|x\|+\|y\|,$

если $x\neq y$, и как 0 в противном случае. Её называют также метрикой почты (англ. Post Office metric), метрикой гусеницы и метрикой челнока.

Иными словами, в соответствии с метрикой британской железной дороги приходится делать крюк через начало координат всегда, если только пункт отправления не совпадает с пунктом назначения.

В Великобритании метрикой британской железной дороги (англ. British Rail metric) иногда называют метрику французского метро.

Примеры

p	x	y	ФЖДМ	МФМ	МБЖД
$(0;0)$	$(0;3)$	$(6;5)$	$3+{\sqrt {61}}$	$3+{\sqrt {61}}$	$3+{\sqrt {61}}$
	$(0;3)$	$(0;6)$	$3$	$3$	${\sqrt {45}}$
$(-3;2)$	$(0;3)$	$(0;6)$	${\sqrt {10}}+5$	$3$	${\sqrt {45}}$
	$(0;3)$	$(6;5)$	${\sqrt {40}}$	$3+{\sqrt {61}}$	$3+{\sqrt {61}}$
	$(5;12)$	$(12;5)$	${\sqrt {164}}+{\sqrt {234}}$	$26$	$26$
	$(5;12)$	$(5;12)$	$0$	$0$	$0$

См. также

• Расстояние городских кварталов
• Расстояние Чебышёва