Функтор прямого образа

Функтор прямого образа — это обобщение понятия сечения пучка на относительный случай.

Определение

Пусть f: X → Y — непрерывное отображение топологических пространств, и Sh(-) обозначает категорию пучков абелевых групп на топологическом пространстве. Функтор прямого образа

$f_{*}:Sh(X)\to Sh(Y)$

переводит пучок F на X в предпучок

$f_{*}F(U):=F(f^{-1}(U)),$

который оказывается пучком на Y.

Эта операция функториальна, в том смысле, что морфизм пучков φ: F → G на X порождает морфизм пучков f_∗(φ): f_∗(F) → f_∗(G) на Y.

Пример

Если Y — это точка, то функтор прямого образа совпадает с функтором глобальных сечений.

Высшие прямые образы

Функтор прямого образа точен слева, но, вообще говоря, не точен справа. Следовательно, можно рассмотреть правые производные функторы функтора прямого образа. Они называются высшими прямыми образами и обозначаются R^q f_∗.

Для высших прямых образов можно дать выражение, сходное с выражением для прямых образов: для пучка F на X, R^q f_∗(F) — это пучок, ассоциированный с предпучком

$U\mapsto H^{q}(f^{-1}(U),F).$

Properties

• Функтор прямого образа сопряжён справа к функтору обратного образа, то есть для любого непрерывного отображения $f:X\to Y$ и ${\mathcal {F}},{\mathcal {G}}$ на X, Y соответственно, существует естественный изоморфизм

$\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})$.

• Если f — вложение замкнутого подпространства X ⊂ Y то f_∗ точен. Более того, в этом случае f_∗ является эквивалентностью категорий между пучками на X и пучками на Y с носителем в X. Это следует из того факта, что слой $(f_{*}{\mathcal {F}})_{y}$ равен ${\mathcal {F}}_{y}$, если $y\in X$ и равен нулю иначе (здесь используется замкнутость X в Y).

Литература

• Iversen, Birger, Cohomology of sheaves, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1986, ISBN 978-3-540-16389-3.