Функция Эйри

Фу́нкция Э́йри — частное решение дифференциального уравнения

График функций Ai(x) (красный цвет) и Bi(x) (синий цвет)

$y''-xy\,=\,0\,,$

называемого уравнением Эйри (впервые рассмотрено и исследовано в 1838 году британским астрономом Джорджем Бидделем Эйри). Это — простейшее дифференциальное уравнение, имеющее на действительной оси точку, в которой вид решения меняется с колеблющегося на экспоненциальный.

Обычно термин «функция Эйри» применяется к двум специальным функциям — функции Эйри 1-го рода $\operatorname {Ai} \,(x)$ (которая при $x\rightarrow -\infty$ имеет колебательное поведение с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при $x\rightarrow +\infty$ монотонно убывает по экспоненциальному закону) и функции Эйри 2-го рода $\operatorname {Bi} \,(x)$ (которая при $x\rightarrow -\infty$ также колеблется с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при $x\rightarrow +\infty$ монотонно растёт по экспоненциальному закону); остальные частные решения уравнения Эйри представимы как линейные комбинации двух данных функций. Обозначение Ai для первой из этих функций предложил в 1928 году Гарольд Джеффрис, использовавший первые две буквы фамилии Эйри (англ. Airy). В 1946 году Джеффри Миллер добавил обозначение Bi для функции Эйри 2-го рода, также ставшее стандартным.

В. А. Фок предложил для обозначения функций Ai и Bi символы U и V соответственно.

Функция Эйри является решением уравнения Шрёдингера для частицы в треугольной потенциальной яме.

Определение

Для действительных $x$ функция Эйри 1-го рода определяется следующим несобственным интегралом:

$\operatorname {Ai} \,(x)\,=\,{\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\infty }\!\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt\,,$

Контуры интегрирования при вычислении Ai(z)

Выполняя дифференцирование под знаком интеграла, убеждаемся, что полученная функция действительно удовлетворяет уравнению Эйри

$y''-xy\,=\,0\,.$

Другим линейно независимым частным решением данного уравнения является функция Эйри 2-го рода $\operatorname {Bi} \,(x),$ у которой при $x\rightarrow -\infty$ колебания имеют ту же амплитуду, что и у $\operatorname {Ai} \,(x),$ но отличаются по фазе на $\pi /2$. Для действительных $x$ функция Эйри 2-го рода выражается интегралом:

$\operatorname {Bi} \,(x)\,=\,{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)+\sin \left({\tfrac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\right]\,dt\,.$

Для комплексных $z$ функция Эйри $\operatorname {Ai} \,(z)$ определяется следующим образом:

$\operatorname {Ai} \,(z)\,=\,\int \limits _{\gamma _{1}}\!\exp \left(pz-{\frac {p^{3}}{3}}\right)\,dp\,,$

где контур $\gamma _{1}$ представлен на рисунке. Контуры $\gamma _{2}$ и $\gamma _{3}$ также дают решение уравнения Эйри. Несмотря на то, что существуют три контура интегрирования, линейно независимых решений уравнения Эйри остается по-прежнему два, так как сумма интегралов по этим трём контурам равна нулю.

Функция $\operatorname {Bi} \,(z)$ при произвольном комплексном $z$ связана с функцией Эйри 1-го рода соотношением:

$\operatorname {Bi} \,(z)\,=\,i\omega ^{2}\,\operatorname {Ai} \,(\omega ^{2}z)-i\omega \,\operatorname {Ai} \,(\omega z)\,,\quad \omega =e^{2\pi {i/3}}\,.$

Свойства

В точке $x=0$ функции $\operatorname {Ai} \,(x)$ и $\operatorname {Bi} \,(x)$ и их первые производные имеют такие значения:

${\begin{aligned}\operatorname {Ai} \,(0)\,=\,{\frac {1}{3^{2/3}\,\Gamma \left({\frac {2}{3}}\right)}}\,\approx \,0,355\,028\,053\,887\,817\,,&\quad \operatorname {Ai} '\,(0)\,=\,-{\frac {1}{3^{1/3}\,\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)}}\,\approx \,-0,258\,819\,403\,792\,807\,,\\\operatorname {Bi} \,(0)\,=\,{\frac {1}{3^{1/6}\,\Gamma \left({\frac {2}{3}}\right)}}\,=\,\operatorname {Ai} \,(0)\,{\sqrt {3}}\,,&\quad \operatorname {Bi} '\,(0)\,=\,{\frac {3^{1/6}}{\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)}}\,=\,-\operatorname {Ai} '\,(0)\,{\sqrt {3}}\,.\end{aligned}}$

где $\Gamma$ — гамма-функция. Отсюда следует, что при $x=0$ вронскиан функций $\operatorname {Ai} \,(x)$ и $\operatorname {Bi} \,(x)$ равен $1/\pi$.

При положительных $x$ $\operatorname {Ai} \,(x)$ — положительная выпуклая функция, убывающая экспоненциально к 0, а $\operatorname {Bi} \,(x)$ — положительная выпуклая функция, возрастающая экспоненциально. При отрицательных $x$ $\operatorname {Ai} \,(x)$ и $\operatorname {Bi} \,(x)$ колеблются вокруг нуля с возрастающей частотой и убывающей амплитудой. Это подтверждается асимптотическими выражениями для функций Эйри.

Асимптотические выражения

При $x,$ стремящемся к $+\infty$:

${\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(x)&{}\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} \,(x)&{}\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(-x)&{}\sim {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} \,(-x)&{}\sim {\frac {\cos({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}$

Комплексный аргумент

Функция Эйри может быть продолжена на комплексную плоскость по формуле

$\mathrm {Ai} \,(z)\,=\,{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{C}\exp \left({\frac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt\,,$

где интеграл берётся по контуру $C,$ начинающемуся в точке на бесконечности с аргументом $-{\dfrac {\pi }{3}}$ и заканчивающимся в точке на бесконечности с аргументом ${\dfrac {\pi }{3}}$. Можно пойти с другой стороны, используя дифференциальное уравнение $y''-xy=0$ для продолжения $\mathrm {Ai} \,(x)$ и $\mathrm {Bi} \,(x)$ до целых функций на комплексной плоскости.

Асимптотическая формула для $\mathrm {Ai} \,(x)$ остаётся в силе на комплексной плоскости, если брать главное значение $x^{2/3}$ и $x$ не лежит на отрицательной действительной полуоси. Формула для $\mathrm {Bi} \,(x)$ верна, если x лежит в секторе $\left\{x\in \mathbb {C} \,:\,|{\text{arg}}\,x|<{\frac {\pi -\delta }{3}}\right\}$ для некоторого положительного $\delta$. Формулы для $\mathrm {Ai} \,(-x)$ и $\mathrm {Bi} \,(-x)$ верны, если x лежит в секторе $\left\{x\in \mathbb {C} \,:\,|{\text{arg}}\,x|<{\frac {2(\pi -\delta )}{3}}\right\}$.

Из асимптотического поведения функций Эйри 1-го и 2-го рода следует, что они обе имеют бесконечно много нулей на отрицательной вещественной полуоси. У функции $\mathrm {Ai} \,(x)$ на комплексной плоскости нет других нулей, а функция $\mathrm {Bi} \,(x)$ имеет бесконечно много нулей в секторе $\left\{z\in \mathbb {C} \,:\,{\frac {\pi }{3}}<|{\text{arg}}\,z|<{\frac {\pi }{2}}\right\}$.

Связь с другими специальными функциями

Для положительных значений аргумента функции Эйри связаны с модифицированными функциями Бесселя:

${\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(x)\,=\,{\frac {1}{\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\,K_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\,,\\\mathrm {Bi} \,(x)\,=\,{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right)\,.\end{aligned}}$

где I_±1/3 и K_1/3 — решения уравнения $x^{2}y''+xy'-(x^{2}+1/9)y=0$.

Для отрицательных значений аргумента функции Эйри связаны с функциями Бесселя:

${\begin{aligned}\mathrm {Ai} \,(-x)\,=\,{\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left(J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right)\,,\\\mathrm {Bi} \,(-x)\,=\,{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right)\,.\end{aligned}}$

где J_±1/3 — решения уравнения $x^{2}y''+xy'+(x^{2}-1/9)y=0$.

Функции Скорера являются решениями уравнения $y''-xy=1/\pi .$ Они также могут быть выражены через функции Эйри:

${\begin{aligned}\mathrm {Gi} \,(x)\,=\,\mathrm {Bi} (x)\int \limits _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (x)\int \limits _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt\,,\\\mathrm {Hi} \,(x)\,=\,\mathrm {Bi} (x)\int \limits _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (x)\int \limits _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt\,.\end{aligned}}$

См. также

• Луч Эйри

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. . Квантовая механика. Нерелятивистская теория. 3-е изд. — М.: Наука, 1974. — 752 с. — (Теоретическая физика, т. III).
• Попов Б. А., Теслер Г. С. . Вычисление функций на ЭВМ: Справочник. — Киев: Наукова думка, 1984. — 599 с.
• Airy G. B. . On the Intensity of Light in the Neighbourhood of a Caustic // Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 1838, 6. — P. 379—402.
• Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables / Ed. by M. Abramowitz and I. A. Stegun. — New York: Academic Press, 1954. — xiv + 1046 p. (недоступная ссылка)  (See § 10.4).
• Olver F. W. G. . Chapter 11. Differential Equations with a Parameter: Turning Points // Asymptotics and Special Functions. — New York: Academic Press, 1974. — xvi + 571 p. — (Computer Science and Applied Mathematics). — P. 392—434.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Airy Functions (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
•  (недоступная ссылка с 02-10-2015 [3131 день])Chapter AI: Airy and related functions in the Digital library of mathematical functions.